Записать ряд Фурье для периодической функции f(x) с периодом 2Pi

Предмет: Математический анализ
Раздел: Ряды Фурье

Рассмотрим разложение функции ( f(x) ) в тригонометрический ряд Фурье с периодом ( 2\pi ).

1. Определение коэффициентов ряда Фурье

Ряд Фурье для функции с периодом ( 2\pi ) имеет вид:

 f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), 

где коэффициенты определяются как:

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \,dx, 

 a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) \,dx, \quad n \geq 1, 

 b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) \,dx, \quad n \geq 1. 

2. Вычисление коэффициентов

Коэффициент ( a_0 ):

 a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \pi \,dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (-\pi) \,dx. 

Вычисляем интегралы:

 a_0 = \frac{1}{\pi} \left[ \pi x \Big|_{-\pi}^{0} + (-\pi x) \Big|_{0}^{\pi} \right] = \frac{1}{\pi} \left[ \pi(0 - (-\pi)) + (-\pi)(\pi - 0) \right] = \frac{1}{\pi} \left[ \pi^2 - \pi^2 \right] = 0. 

Таким образом, ( a_0 = 0 ).

Коэффициент ( a_n ):

 a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \pi \cos(n x) \,dx + \int_{0}^{\pi} (-\pi) \cos(n x) \,dx \right). 

Рассмотрим первый интеграл:  \int \cos(n x) \,dx = \frac{\sin(n x)}{n}. 

Вычисляем:  \int_{-\pi}^{0} \pi \cos(n x) \,dx = \pi \left[ \frac{\sin(n x)}{n} \right]_{-\pi}^{0} = \pi \left( \frac{\sin(0)}{n} - \frac{\sin(-n\pi)}{n} \right). 

Так как ( \sin(-n\pi) = -\sin(n\pi) ), а ( \sin(n\pi) = 0 ), получаем:  \int_{-\pi}^{0} \pi \cos(n x) \,dx = 0. 

Аналогично, второй интеграл:  \int_{0}^{\pi} (-\pi) \cos(n x) \,dx = -\pi \left[ \frac{\sin(n x)}{n} \right]_{0}^{\pi} = -\pi \left( \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(0)}{n} \right) = 0. 

Таким образом, ( a_n = 0 ).

Коэффициент ( b_n ):

 b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \pi \sin(n x) \,dx + \int_{0}^{\pi} (-\pi) \sin(n x) \,dx \right). 

Вычисляем первый интеграл:  \int \sin(n x) \,dx = -\frac{\cos(n x)}{n}. 

 \int_{-\pi}^{0} \pi \sin(n x) \,dx = \pi \left[ -\frac{\cos(n x)}{n} \right]_{-\pi}^{0} = -\pi \left( \frac{\cos(0)}{n} - \frac{\cos(-n\pi)}{n} \right). 

Так как ( \cos(-n\pi) = \cos(n\pi) ), то:  \int_{-\pi}^{0} \pi \sin(n x) \,dx = -\pi \left( \frac{1}{n} - \frac{\cos(n\pi)}{n} \right) = -\pi \frac{1 - \cos(n\pi)}{n}. 

Аналогично второй интеграл:  \int_{0}^{\pi} (-\pi) \sin(n x) \,dx = -\pi \left[ -\frac{\cos(n x)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \pi \left( \frac{\cos(n\pi)}{n} - \frac{1}{n} \right). 

Суммируя:  b_n = \frac{1}{\pi} \left( -\pi \frac{1 - \cos(n\pi)}{n} + \pi \frac{\cos(n\pi) - 1}{n} \right). 

Так как ( 1 - \cos(n\pi) = 2 ) при нечетном ( n ) и ( 0 ) при четном ( n ), получаем:  b_n = \frac{2\pi}{\pi n} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{2}{n} (1 - (-1)^n). 

Таким образом, ( b_n ) равно:

• ( \frac{4}{n} ), если ( n ) нечетное;
• ( 0 ), если ( n ) четное.

3. Итоговое разложение

Так как ( a_0 = 0 ) и ( a_n = 0 ), ряд Фурье принимает вид:

 f(x) = \sum_{n=1, \, n \text{ нечётное}}^{\infty} \frac{4}{n} \sin(n x). 

То есть:

 f(x) = \frac{4}{1} \sin x + \frac{4}{3} \sin 3x + \frac{4}{5} \sin 5x + \frac{4}{7} \sin 7x + \dots 

Вывод:

Записанный ряд Фурье представляет собой разложение функции в бесконечную сумму синусов с коэффициентами, зависящими от нечетных гармоник.