Задание по математике, связанное с бесконечными рядами

Это задание по математике, связанное с бесконечными рядами. Мы решим его, подробно объясняя каждый шаг.

Постановка:

Требуется найти сумму бесконечного ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \]

Анализ выражения:

Рассмотрим процедуру распада каждого термина в серии.

Шаг 1: Преобразование выражения

Рассмотрим каждый элемент ряда: \[ \frac{1}{3n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \]

Шаг 2: Приближение для большой \(n\)

Когда \( n \) очень велико, выражение \((1 + \frac{1}{n})^{n}\) приближается к числу \(e\): \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx e \] Тогда: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{n} \approx e^{n} \]

Шаг 3: Упрощение выражения

Подставим это приближение в наш ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} e^n \] Это становится: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{3n} \]

Шаг 4: Поведение ряда

Рассмотрим поведение данного ряда. Так как \( e^n \) растет экспоненциально (очень быстро), то \(\frac{e^n}{3n}\) тоже растет экспоненциально.

Шаг 5: Признак Разбиения (Дивергенция)

Если члены ряда не стремятся к нулю, ряд расходится. Поскольку \(e^n\) растет быстрее, чем линейное уменьшение \(3n\), члены ряда становятся неограниченными, и ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{3n} \] явно расходится.

Ответ:

Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}\) расходится, так как для больших \(n\) члены ряда становятся слишком большими и не сходятся к нулю.