Задание обобщает сложную сумму (сигму) с выражением внутри

Это задание по математике, вероятнее всего, из раздела математического анализа или теории чисел. Задание обобщает сложную сумму (сигму) с выражением внутри. Попробуем разобрать и упростить выражение.

Постановка задачи:

Нам нужно вычислить следующую сумму:

\[ \sum_{n=1}^{s} \frac{1}{n} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} \right) \]

Шаг 1. Упрощение выражения под знаком суммы.

Рассмотрим выражение внутри скобок \( \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} \right) \). Нам понадобится его упростить. Используем стандартный прием в математике — умножение и деление на сопряженное, чтобы избавиться от разности квадратных корней:

\[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} = \frac{\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} \right) \cdot \left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \]

Шаг 2. Раскроем произведение в числителе.

\[ \left( \sqrt{n+1} \right)^2 - \left( \sqrt{n-1} \right)^2 = (n+1) - (n-1) = 2 \]

Таким образом, выражение примет вид:

\[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} = \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \]

Шаг 3. Подставим упростившееся выражение в исходную сумму.

Теперь наша задача с использованием данной подстановки выглядит так:

\[ \sum_{n=1}^{s} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \]

Мы можем вынести число \( 2 \) за знак суммы:

\[ 2 \sum_{n=1}^{s} \frac{1}{n \left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \right)} \]

Дальше уже это выражение можно далее вычислять с конкретными пределами суммы, но это может варьироваться в зависимости от значения \( s \), которое зависит от конкретного задания.

Заключение:

Мы привели данное выражение к более простому виду, который теперь может быть подвергнут дальнейшим расчетам. Ответ на данную задачу сильно зависит от предела суммы \( s \), который может быть подставлен в зависимости от условий задачи.