Выяснить, сходится ли этот ряд, и если да, то абсолютно или условно

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование сходимости числовых рядов

Рассмотрим следующий числовой ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) 

Наша цель — выяснить, сходится ли этот ряд, и если да, то абсолютно или условно.

Шаг 1: Поведение общего члена

Рассмотрим поведение общего члена:

 a_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) 

Для больших n можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора функции \ln(1 + x) при x \to 0:

 \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots 

Положим x = \frac{1}{n^2}. Тогда:

 \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} + \dots 

Отсюда видно, что:

 \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2} \quad \text{при } n \to \infty 

Шаг 2: Сравнение с известным рядом

Известно, что ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 

— сходится (это p-ряд с p = 2 > 1).

Так как \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}, то применим признак предельного сравнения:

 \lim_{n \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}} = 1 

Поскольку предел конечен и не равен нулю, то ряды ведут себя одинаково с точки зрения сходимости. Следовательно, ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) 

— сходится.

Шаг 3: Абсолютная или условная сходимость

Так как все члены ряда положительные (логарифм от числа больше 1), то модуль каждого члена совпадает с самим членом:

 \left| \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \right| = \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) 

Значит, ряд сходится абсолютно.

✅ Ответ:

Ряд сходится абсолютно.