Выяснить сходится или расходится ряд

Задание относится к математическому анализу, разделу теории рядов. Нам нужно выяснить, сходится ли данный бесконечный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \] Этот ряд называется рядом Лейбница.

Алгоритм решения:

1. Мы имеем дело с знакопеременным рядом, так как множитель \((-1)^n\) меняет знаки членов ряда на противоположные с каждым шагом \(n\).
2. Для исследования его сходимости воспользуемся признаком Лейбница. Признак Лейбница утверждает, что знакопеременный ряд вида \(\sum (-1)^n a_n\) (где \(a_n > 0\) для всех \(n\)) сходится, если выполняются два условия:
   1. Последовательность \(a_n\) (в данном случае \(a_n = \frac{1}{n}\)) монотонно убывает, то есть \(a_{n+1} \leq a_n\).
   2. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).
3. Проверяем оба условия:
   • \(a_n = \frac{1}{n}\), очевидно, является монотонно убывающей функцией: \(\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}\) для любого \(n \geq 1\).
   • \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).
   Оба условия выполнены, следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится.

Заключение:

Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) сходится.