Выяснить какие из данных рядов сходятся и какие расходятся использовать признак доламбера

Это задание по математическому анализу, конкретно по теме "Исследование сходимости рядов".

Чтобы определить, сходится ли данный ряд, используем признак Даламбера. Рассмотрим общий член ряда \(a_n = \frac{n^n}{(n+2)!}\). Признак Даламбера гласит, что ряд \(\sum a_n\) сходится, если предел отношения \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) при \( n \to \infty \) меньше 1. То есть вычислим \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\]. Найдём \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\):

\[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+3)!}, \]\[ a_n = \frac{n^n}{(n+2)!}. \]

Тогда \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+3)!}}{\frac{n^n}{(n+2)!}} = \frac{(n+1)^{n+1} \cdot (n+2)!}{(n+3)! \cdot n^n}. \]

Теперь упростим это выражение: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} \cdot (n+2)!}{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)! \cdot n^n} = \frac{(n+1)^{n+1} \cdot (n+2)}{(n+3) \cdot n^n}. \]

Разделим числитель и знаменатель на \(n^n\):

\[ \frac{(n+1)^{n+1} \cdot (n+2)}{(n+3) \cdot n^n} = \frac{(n+1)^{n} \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{(n+3) \cdot n^n}. \]

Выразим \( (n+1)^n \) через \( n^n \):

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{(n+3) \cdot n^n} = \frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{(n+3)}. \]

Поделим числитель и знаменатель на \( n \):

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(1 + \frac{1}{n})^n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{n \cdot (n+3)} = \frac{(1 + \frac{1}{n})^n \cdot (1+ \frac{1}{n}) \cdot (1+ \frac{2}{n})}{(1 + \frac{3}{n})}. \]

Теперь, найдём предел при \( n \to \infty \):

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^n \cdot (1+ \frac{1}{n}) \cdot (1+ \frac{2}{n})}{(1 + \frac{3}{n})}. \]

Известно, что \( (1 + \frac{1}{n})^n \) стремится к \( e \) при \( n \to \infty \):

\[\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e.\]

Остальные множители стремятся к 1:

\[ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1, \]\[ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{2}{n}) = 1, \]\[ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{3}{n}) = 1. \]

Тогда \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = e \cdot 1 \cdot 1 / 1 = e. \] Поскольку \( e \approx 2.718 > 1 \), ряд расходится по признаку Даламбера.