Выяснить какие из данных рядов сходятся и какие расходятся. Использовать метод дамамбера

Это задание по высшей математике, раздел "Ряды и последовательности".

Давайте применим критерий Даламбера для проверки сходимости ряда. Суть критерия заключается в следующем: если для последовательности \( a_n \) существует такой предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] который удовлетворяет следующим условиям:

• Если \( L < 1 \), ряд сходится.
• Если \( L > 1 \), ряд расходится.
• Если \( L = 1 \), тест Даламбера не дает ответа, и необходимо использовать другие методы проверки сходимости.

Обозначим член ряда \( a_n \): \[ a_n = \frac{n^n}{(n+2)!} \] Теперь найдем член \( a_{n+1} \): \[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+3)!} \] Последовательно вычислим отношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \): \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{n^n} \] Сократим факториалы: \[ = \frac{(n+1)^{(n+1)} \cdot (n+2)!}{(n+3)(n+2)(n+1) \cdot n^n} \] \[ = \frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+3)(n+2)n^n} \] Спрощуємо вираз враховуючи, що: \[ (n+1)^{(n+1)} = (n+1)^n \cdot (n+1) \] Отримуємо: \[ = \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{n^n (n+2)(n+3)} \] Тепер розділимо обидва чисельник і знаменник на \( n^n \): \[ = \frac{ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot (n+1) }{(n+2)(n+3)} \] Застосовуючи правило меж для послідовностей у формі \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \), яке прагне до \( e \) у міру \( n \to \infty \), отримаємо: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot (n+1) }{(n+2)(n+3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{e \cdot (n+1)}{(n^2 + 5n + 6)} = \frac{e}{\infty} = 0 \] Таким чином, граничне значення наближається до нуля, і це менше, ніж 1. Відповідно до критерію Даламбера, якщо \( L < 1 \), ряд сходиться.

Ответ: данный ряд сходится.