Выяснить какие из данных рядов сходятся и какие расходятся

Это задание по предмету математический анализ, и конкретно оно из раздела теории рядов. В частности, здесь требуется определить, сходится ли ряд. Расшифруем условие с вашего изображения:

Дан бесконечный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \] Нужно определить для каких значений \( p \) этот ряд сходится.

Этот ряд называют п-рядом.

Решение таких заданий основывается на следующей теореме:

Теорема о сходимости \( p \)-ряда: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) сходится тогда и только тогда, когда \( p > 1 \).

Подробное объяснение:

1. Если \( p = 1 \), ряд превращается в гармонический ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\). Известно, что этот ряд расходится. То есть \( p = 1 \) - предел, при котором ряд не сходится.
2. Если \( p < 1 \), то члены ряда \(\frac{1}{n^p}\) спадают слишком медленно. Сумма членов по-прежнему будет бесконечной, то есть ряд расходится.
3. Если \( p > 1 \), члены ряда \(\frac{1}{n^p}\) спадают достаточно быстро к нулю. В этом случае можно доказать, что сумма всех членов ряда будет конечной, и ряд сходится.

Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) сходится при \( p > 1 \) и расходится при \( p \leq 1 \).