Выполнить разложение заданной функции в тригонометрический ряд Фурье по косинусам на интервале

Это задание относится к курсу математического анализа, а конкретно к разделу ряды Фурье. Здесь необходимо выполнить разложение заданной функции в тригонометрический ряд Фурье по косинусам на интервале \( [0, l] \). Функция задана на интервале \( [0, 12] \) и имеет вид:

\[ y(x) = \begin{cases} 2, & 0 < x < 10, \\ -x, & 10 \leq x < 12. \end{cases} \]

Шаг 1: Постановка задачи

Нам необходимо разложить функцию \( f(x) \) в косинусный ряд Фурье, который имеет следующий общий вид:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \]

где \( a_0 \) и \( a_n \) — коэффициенты Фурье, которые необходимо найти. Периодом \( L \) здесь будет равен \( L = 12 \).

Шаг 2: Вычисление коэффициентов Фурье

Коэффициент \( a_0 \)

\[ a_0 = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \,dx. \]

Подставляем \( L = 12 \), и учитываем кусочную структуру функции \( f(x) \):

\[ a_0 = \frac{2}{12} \left( \int_{0}^{10} 2 \,dx + \int_{10}^{12} (-x) \,dx \right). \]

Первый интеграл:

\[ \int_{0}^{10} 2 \,dx = 2 \times 10 = 20. \]

Второй интеграл:

\[ \int_{10}^{12} (-x) \,dx = -\frac{x^2}{2} \Big|_{10}^{12} = -\frac{12^2}{2} + \frac{10^2}{2} = -\frac{144}{2} + \frac{100}{2} = -72 + 50 = -22. \]

Теперь находим \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{2}{12} \times (20 - 22) = \frac{2}{12} \times (-2) = -\frac{1}{3}. \]

Коэффициенты \( a_n \)

\[ a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \,dx. \]

Подставляем \( L = 12 \):

\[ a_n = \frac{2}{12} \left( \int_{0}^{10} 2 \cos\left(\frac{n \pi x}{12}\right) dx + \int_{10}^{12} (-x) \cos\left(\frac{n \pi x}{12}\right) dx \right). \]

Первый интеграл:

\[ \int_{0}^{10} 2 \cos\left(\frac{n \pi x}{12}\right) \,dx = 2 \times \left[ \frac{12}{n \pi} \sin\left(\frac{n \pi x}{12}\right) \right]_{0}^{10} = \frac{24}{n \pi} \sin\left(\frac{10 n \pi}{12}\right). \]

\[ \sin\left(\frac{10 n \pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{5 n \pi}{6}\right). \]

Второй интеграл:

\[ \int_{10}^{12} -x \cos\left(\frac{n \pi x}{12}\right) dx \]

Этот интеграл необходимо вычислять методом интегрирования по частям (оставляем его в общем виде для дальнейших алгебраических преобразований, зависящих от \( n \)).

Итог:

Мы нашли нулевой коэффициент \( a_0 = -\frac{1}{3} \). Коэффициенты \( a_n \) можно выразить в общем виде, как комбинацию этих интегралов, которые проще вычислить уже непосредственно для каждого конкретного значения \( n \). Таким образом, итоговое разложение функции в ряд Фурье представляет собой:

\[ f(x) = -\frac{1}{6} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left( \frac{n \pi x}{12} \right), \]

где коэффициенты \( a_n \) вычисляются через интегралы, зависящие от \( \sin\left(\frac{5 n \pi}{6}\right) \) и результатов интегрирования методом частных для второго слагаемого.