Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001

Для вычисления данного определенного интеграла $\text{(}{\int }_0^{0.5}\sin \left(\frac{x^2}{4}\right)dx\text{)}$ с заданной точностью, можно использовать разложение синуса в степенной ряд: $\text{[}\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots \text{]}$ Подставим $\text{(}\frac{x^2}{4}\text{)}$ вместо $\text{(}\text{x}\text{)}$: $\text{[}\sin \left(\frac{x^2}{4}\right)=\frac{x^2}{4}-\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^5}{5!}-\dots +(-1{)}^n\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots \text{]}$ Теперь применим почленное интегрирование степенного ряда: $\text{[}{\int }_0^{0.5}\sin \left(\frac{x^2}{4}\right)dx={\int }_0^{0.5}[\left(\frac{x^2}{4}\right)-\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^5}{5!}-\dots ]dx\text{]}$ Интегрируем почленно: $\text{[}={\left(\frac{x^3}{4\cdot 3}\right)|}_0^{0.5}-{\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^3\cdot x}{3!\cdot 4}|}_0^{0.5}+{\frac{{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^5\cdot x}{5!\cdot 6}|}_0^{0.5}-\dots \text{]}$ Вычислим каждый из интегралов: $\text{[}=\frac{(0.5{)}^3}{4\cdot 3}-\frac{[(0.5{)}^8/(4^3)]}{3!\cdot 4\cdot 5}+\frac{[(0.5{)}^{12}/(4^5)]}{5!\cdot 6\cdot 7}-\dots \text{]}$ Полученное выражение представляет собой сумму числового ряда. Чтобы достигнуть необходимой точности в $\text{(}0.001\text{)}$, нужно сложить достаточно много членов ряда до тех пор, пока абсолютное значение следующего члена ряда не станет меньше $\text{(}0.001\text{)}$. Для точного расчета этой суммы и определения, сколько членов ряда следует взять, может потребоваться использование программы для вычисления с достаточной точностью. Обычно для задач, подобных этой, используются компьютерные алгоритмы или специализированные математические программы, такие как MATLAB, Mathematica или даже Python с библиотекой как SymPy или NumPy.