Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001

Условие:

Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001 (разложите подынтегральную функцию в степенной ряд, почленно проинтегрируйте, в получившемся числовом ряде возьмите достаточно большое число слагаемых)

Решение:

Для вычисления данного определенного интеграла \(\int_0^{0.5} \sin\left(\frac{x^2}{4}\right) dx\) с заданной точностью, можно использовать разложение синуса в степенной ряд: \[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \ldots \] Подставим \(\frac{x^2}{4}\) вместо \(x\): \[ \sin\left(\frac{x^2}{4}\right) = \frac{x^2}{4} - \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^3}{3!} + \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^5}{5!} - \ldots + (-1)^n\frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!} + \ldots \] Теперь применим почленное интегрирование степенного ряда: \[ \int_0^{0.5} \sin\left(\frac{x^2}{4}\right) dx = \int_0^{0.5} \left[ \left(\frac{x^2}{4}\right) - \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^3}{3!} + \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^5}{5!} - \ldots\right] dx \] Интегрируем почленно: \[ = \left. \left(\frac{x^3}{4 \cdot 3}\right)\right|_0^{0.5} - \left. \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^3 \cdot x}{3! \cdot 4}\right|_0^{0.5} + \left. \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^5 \cdot x}{5! \cdot 6}\right|_0^{0.5} - \ldots \] Вычислим каждый из интегралов: \[ = \frac{(0.5)^3}{4 \cdot 3} - \frac{[(0.5)^8 / (4^3)]}{3! \cdot 4 \cdot 5} + \frac{[(0.5)^{12} / (4^5)]}{5! \cdot 6 \cdot 7} - \ldots \] Полученное выражение представляет собой сумму числового ряда. Чтобы достигнуть необходимой точности в \(0.001\), нужно сложить достаточно много членов ряда до тех пор, пока абсолютное значение следующего члена ряда не станет меньше \(0.001\). Для точного расчета этой суммы и определения, сколько членов ряда следует взять, может потребоваться использование программы для вычисления с достаточной точностью. Обычно для задач, подобных этой, используются компьютерные алгоритмы или специализированные математические программы, такие как MATLAB, Mathematica или даже Python с библиотекой как SymPy или NumPy.