Вычислить сумму ряда, используя разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Предмет: Математический анализ
Раздел: Ряды Тейлора

Дан числовой ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{2^3}{3!} + \frac{2^5}{5!} + \frac{2^7}{7!} + \frac{2^9}{9!} + \frac{2^{11}}{11!} + \dots 

Решение:

Рассмотрим разложение функции синуса в ряд Тейлора:

 \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots 

Заметим, что данный ряд похож на разложение синуса, но с положительными членами и аргументом 2. Подставим x = 2 в разложение синуса:

 \sin 2 = 2 - \frac{2^3}{3!} + \frac{2^5}{5!} - \frac{2^7}{7!} + \frac{2^9}{9!} - \dots 

Если оставить только положительные члены, то получаем:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin 2 + 2 

Таким образом, сумма данного ряда:

 \sin 2 + 2