Вычислить сумму некоторого выражения по заданному диапазону значений переменной

Данное задание относится к разделу математики, а именно — к теме суммы и последовательностей, возможно, в рамках математического анализа или просто алгебры. Нам необходимо вычислить сумму некоторого выражения по заданному диапазону значений переменной \( n \).

Условие:

Нам дана сумма:

\[ \sum_{n=1}^8 \left( \frac{1+n^2}{1+n^3} \right)^3 \]

где \( n \) — номера членов суммы, изменяющиеся от 1 до 8.

Шаг 1: Разберем общую форму каждого члена суммы

Каждый элемент суммы имеет вид \(\left( \frac{1+n^2}{1+n^3} \right)^3\). Нам нужно вычислить это выражение для каждого \( n \), начиная с 1 и заканчивая 8, затем сложить все полученные результаты.

Шаг 2: Вычислим значения для \( n = 1 \) до \( n = 8 \)

Теперь поочередно подставим значения \( n \) от 1 до 8 и вычислим каждый член суммы.

1. Для \( n = 1 \):

   \[ \left( \frac{1+1^2}{1+1^3} \right)^3 = \left( \frac{1+1}{1+1} \right)^3 = \left( \frac{2}{2} \right)^3 = 1^3 = 1 \]

2. Для \( n = 2 \):

   \[ \left( \frac{1+2^2}{1+2^3} \right)^3 = \left( \frac{1+4}{1+8} \right)^3 = \left( \frac{5}{9} \right)^3 = \frac{125}{729} \]

3. Для \( n = 3 \):

   \[ \left( \frac{1+3^2}{1+3^3} \right)^3 = \left( \frac{1+9}{1+27} \right)^3 = \left( \frac{10}{28} \right)^3 = \left( \frac{5}{14} \right)^3 = \frac{125}{2744} \]

4. Для \( n = 4 \):

   \[ \left( \frac{1+4^2}{1+4^3} \right)^3 = \left( \frac{1+16}{1+64} \right)^3 = \left( \frac{17}{65} \right)^3 = \frac{4913}{274625} \]

5. Для \( n = 5 \):

   \[ \left( \frac{1+5^2}{1+5^3} \right)^3 = \left( \frac{1+25}{1+125} \right)^3 = \left( \frac{26}{126} \right)^3 = \left( \frac{13}{63} \right)^3 = \frac{2197}{250047} \]

6. Для \( n = 6 \):

   \[ \left( \frac{1+6^2}{1+6^3} \right)^3 = \left( \frac{1+36}{1+216} \right)^3 = \left( \frac{37}{217} \right)^3 = \frac{50653}{10218313} \]

7. Для \( n = 7 \):

   \[ \left( \frac{1+7^2}{1+7^3} \right)^3 = \left( \frac{1+49}{1+343} \right)^3 = \left( \frac{50}{344} \right)^3 = \frac{125000}{4070752} \]

8. Для \( n = 8 \):

   \[ \left( \frac{1+8^2}{1+8^3} \right)^3 = \left( \frac{1+64}{1+512} \right)^3 = \left( \frac{65}{513} \right)^3 = \frac{274625}{135421137} \]

Шаг 3: Найдем итоговую сумму

Теперь найдем сумму всех полученных результатов:

\[ 1 + \frac{125}{729} + \frac{125}{2744} + \frac{4913}{274625} + \frac{2197}{250047} + \frac{50653}{10218313} + \frac{125000}{4070752} + \frac{274625}{135421137} \]

Сложение дробей можно выполнить, приведя их к общему знаменателю, или приближённо. Таким образом, решение задачи представляет собой последовательные сложения для каждого подставленного значения \( n \).