Вычислить сумму, используя разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Предмет: Математический анализ

Раздел: Ряды, разложение в ряд Тейлора

Дан ряд:
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n+1}}{(2n+1)!} 

Нам нужно вычислить его сумму, используя разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Разложение функции sin(x) в ряд Тейлора:

 \sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} 

Если выбрать x = 2, то получаем:  \sin 2 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k 2^{2k+1}}{(2k+1)!} 

Замечаем, что данный ряд очень похож на заданный, но в нашем ряде отсутствует знак (-1)^k. Это означает, что наш ряд соответствует разложению гиперболического синуса \sinh x, который имеет вид:  \sinh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} 

Подставляя x = 2, получаем:  \sinh 2 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k+1}}{(2k+1)!} 

Таким образом, сумма данного ряда равна:  \sinh 2 

Используя значение:  \sinh 2 = \frac{e^2 - e^{-2}}{2} \approx 1.868 

Ответ:
Сумма данного ряда равна \sinh 2, что приближенно равно 1.868.