Вычислить сумму бесконечного ряда

Это задание относится к предмету математика, а конкретнее к разделу бесконечных рядов и пределов.

Чтобы решить это задание, нужно вычислить сумму бесконечного ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \] Начнем с анализа выражения внутри суммы. Рассмотрим выражение \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2}\) для больших значений \(n\).

Шаг 1: Оценка дроби

Посмотрим на предел \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) для \(n \to \infty\). Известно, что: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \] где \(e\) — основание натурального логарифма.

Шаг 2: Преобразование степени

Теперь возьмем преобразованный предел с учетом степени \(n^2\). \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^n \] Заменим предел: \[ \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^n \approx e^n \]

Шаг 3: Реализация в сумме

Подставим это выражение обратно в сумму: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} e^n \]

Шаг 4: Анализ сходимости ряда

Рассмотрим выражение более детально: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} e^n \] Заметим, что \(e^n\) растет экспоненциально, а \(\frac{1}{3n}\) убывает линейно. В данном случае ряд будет расходящимся, поскольку члены ряда растут экспоненциально и не убывают достаточно быстро, чтобы обеспечить сходимость. Таким образом: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} e^n \to \infty \]

Итак, исходный ряд также будет расходящимся:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \text{ является расходящимся.} \]
Ответ: ряд расходится.