Вычислить сумму бесконечного ряда

Это задание относится к предмету математика, а конкретнее к разделу бесконечных рядов и пределов.

Чтобы решить это задание, нужно вычислить сумму бесконечного ряда: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}{(1+\frac{1}{n})}^{n^2}\text{]}$ Начнем с анализа выражения внутри суммы. Рассмотрим выражение $\text{(}{(1+\frac{1}{n})}^{n^2}\text{)}$ для больших значений $\text{(}n\text{)}$.

Шаг 1: Оценка дроби

Посмотрим на предел $\text{(}{(1+\frac{1}{n})}^n\text{)}$ для $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$. Известно, что: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e\text{]}$ где $\text{(}e\text{)}$ — основание натурального логарифма.

Шаг 2: Преобразование степени

Теперь возьмем преобразованный предел с учетом степени $\text{(}{n}^2\text{)}$. $\text{[}{(1+\frac{1}{n})}^{n^2}={\left[{(1+\frac{1}{n})}^n\right]}^n\text{]}$ Заменим предел: $\text{[}{\left[{(1+\frac{1}{n})}^n\right]}^n\approx e^n\text{]}$

Шаг 3: Реализация в сумме

Подставим это выражение обратно в сумму: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}{(1+\frac{1}{n})}^{n^2}\approx \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}{e}^n\text{]}$

Шаг 4: Анализ сходимости ряда

Рассмотрим выражение более детально: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}{e}^n\text{]}$ Заметим, что $\text{(}{e}^n\text{)}$ растет экспоненциально, а $\text{(}\frac{1}{3n}\text{)}$ убывает линейно. В данном случае ряд будет расходящимся, поскольку члены ряда растут экспоненциально и не убывают достаточно быстро, чтобы обеспечить сходимость. Таким образом: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}{e}^n\to \mathrm{\infty }\text{]}$

Итак, исходный ряд также будет расходящимся:
$\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3n}{(1+\frac{1}{n})}^{n^2}\text{ является расходящимся.}\text{]}$
Ответ: ряд расходится.