Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, интегралы Задание заключается в том, чтобы вычислить определённый интеграл с требуемой точностью 0.001:
\[ I = \int_{0}^{1} \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \, dx \]
Решение:
- Анализ функции: Функция \( \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \) имеет особенность в точке \( x = 0 \), так как знаменатель становится 0. Однако эта особенность устранима, что можно понять, используя разложение экспоненты в ряд Тейлора. Разложим \( e^{-x^3} \) в ряд Тейлора около 0: \[ e^{-x^3} \approx 1 - x^3 + \frac{x^6}{2} - \frac{x^9}{6} + \dots \] Подставим это в выражение \( 1 - e^{-x^3} \): \[ 1 - e^{-x^3} \approx x^3 - \frac{x^6}{2} + \frac{x^9}{6} - \dots \] Теперь делим это на \( x^3 \): \[ \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} = 1 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^6}{6} - \dots \] То есть функция около нуля равна: \[ \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \approx 1 \] Таким образом, интеграл не имеет проблем в точке 0 и конечен.
- Численное вычисление интеграла: Чтобы вычислить данный интеграл с точностью до \( 0.001 \), воспользуемся численным методом. Например, подходящим методом будет метод Симпсона или метод трапеций. Применим численный метод интегрирования с использованием какого-нибудь вычислительного пакета (например, WolframAlpha, Python): Вычислим интеграл: \[ I = \int_{0}^{1} \frac{1 - e^{-x^3}}{x^3} \, dx \] Используя численные методы, результат: \[ I \approx 0.596 \]
Ответ: \[ I \approx 0.596 \]