Вычислить производную скалярного поля

Это задание по математике, конкретно по разделу "векторное исчисление" и "дифференциальное исчисление".

Следует найти производную скалярного поля \( u = z^2 y + xz - y^3 \) по направлению вектора \( \mathbf{l} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} \) в точке \( M(1,1,1) \). Производная скалярного поля по направлению вектора вычисляется с помощью вычисления градиента и последующего скалярного произведения градиента на данный вектор направления.

1. Найдём градиент функции \( u \):

Градиент функции \( u \) — это вектор, состоящий из частных производных \( u \) по \( x \), \( y \), и \( z \): \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]

• Найдём \(\frac{\partial u}{\partial x}\): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (z^2 y + xz - y^3) = z \]
• Найдём \(\frac{\partial u}{\partial y}\): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (z^2 y + xz - y^3) = z^2 - 3y^2 \]
• Найдём \(\frac{\partial u}{\partial z}\): \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (z^2 y + xz - y^3) = 2zy + x \]

Таким образом, градиент функции \( u \): \[ \nabla u = (z, z^2 - 3y^2, 2zy + x) \]

2. Подставим точку \( M(1,1,1) \) в градиент:

• \( x = 1 \)
• \( y = 1 \)
• \( z = 1 \)

\[ \nabla u |_{(1,1,1)} = (1, 1^2 - 3 \cdot 1^2, 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1) = (1, 1 - 3, 2 + 1) = (1, -2, 3) \]

3. Найдём скалярное произведение градиента и вектора \( \mathbf{l} \):

\( \mathbf{l} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} = (3, -1, -1) \) Скалярное произведение \( \nabla u \cdot \mathbf{l} \): \[ \nabla u \cdot \mathbf{l} = (1, -2, 3) \cdot (3, -1, -1) = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = 3 + 2 - 3 = 2 \]

Таким образом, производная скалярного поля \( u \) по направлению вектора \( \mathbf{l} \) в точке \( M(1,1,1) \) равна 2.