Вычислить приближённо \ln(0{,}9), ограничившись тремя первыми членами ряда. Оценить погрешность

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды, логарифмические функции, приближённые вычисления

Задание:
Вычислить приближённо \ln(0{,}9), ограничившись тремя первыми членами ряда. Оценить погрешность.

Шаг 1: Разложение логарифма в ряд Тейлора

Функция \ln(1 + x) может быть разложена в степенной ряд при |x| \leq 1, x \ne -1:

 \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} 

Шаг 2: Преобразуем \ln(0{,}9)

Поскольку 0{,}9 = 1 - 0{,}1, то:

 \ln(0{,}9) = \ln(1 - 0{,}1) 

Подставим x = -0{,}1 в ряд:

 \ln(1 - 0{,}1) = -0{,}1 - \frac{(-0{,}1)^2}{2} - \frac{(-0{,}1)^3}{3} - \cdots 

Шаг 3: Три первых члена ряда

Вычислим три первых члена:

• Первый: -0{,}1
• Второй: -\frac{(-0{,}1)^2}{2} = -\frac{0{,}01}{2} = -0{,}005
• Третий: -\frac{(-0{,}1)^3}{3} = -\frac{-0{,}001}{3} = +0{,}000333...

Сумма трёх первых членов:

 S_3 = -0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000333... = -0{,}104666... 

Шаг 4: Оценка погрешности

Так как ряд является знакопеременным и удовлетворяет условиям Лейбница (модули членов убывают, предел стремится к нулю), то погрешность при использовании первых трёх членов не превышает модуль следующего (четвёртого) члена:

 R_3 \leq \left| \frac{(-0{,}1)^4}{4} \right| = \frac{0{,}0001}{4} = 0{,}000025 

Ответ:

Приближённое значение: \ln(0{,}9) \approx -0{,}104666...

Погрешность не более:
0{,}000025

Точное значение (для сравнения):
\ln(0{,}9) \approx -0{,}1053605
Погрешность действительно очень мала.