Вычислить приближено с точностью эпсилонт

Условие:

Вычислить приближено с точностью эпсилонт(0,001)

Решение:

Задание относится к разделу математики, конкретно к математическому анализу, а именно — к вычислению определённого интеграла приближёнными методами с заданной точностью.

Нам задан определённый интеграл:

\( I = \int_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^3} \, dx \)

И точность вычисления —

\(\varepsilon = 0.001\).

Для нахождения приближённого значения интеграла часто используют такие методы, как:
  • Метод прямоугольников
  • Метод трапеций
  • Метод Симпсона

Рассмотрим метод трапеций, поскольку это сравнительно быстро и довольно точно.

Шаги выполнения:
  1. Метод трапеций основывается на разбиении промежутка интегрирования на \(n\) частей и приближённого вычисления площади трапеций под графиком функции:

    \( I \approx \frac{h}{2} \left(f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n)\right) \)

    где:

    • \(h = \frac{b - a}{n}\) — шаг разбиения,
    • \(x_0 = a\), \(x_n = b\), \(x_i = a + ih\).
  2. Промежуток интегрирования у нас \( [0, 0.5] \), поэтому \( a = 0 \), \( b = 0.5 \).
  3. Выберем количество шагов \( n \) для выполнения с точностью \(\varepsilon = 0.001\). Из опыта, обычно дают достаточно \( n = 4 \) для малых интервалов.
Вычисление по методу трапеций:

Для \( n = 4 \), получаем шаг разбиения:

\( h = \frac{0.5 - 0}{4} = 0.125 \)

Точки разбиения:

\( x_0 = 0, \quad x_1 = 0.125, \quad x_2 = 0.25, \quad x_3 = 0.375, \quad x_4 = 0.5 \)

Теперь вычисляем значения функции \( f(x) = \frac{1}{1 + x^3} \) в этих точках:

\( f(0) = \frac{1}{1 + 0^3} = 1 \)

\( f(0.125) = \frac{1}{1 + (0.125)^3} \approx 0.998047 \)

\( f(0.25) = \frac{1}{1 + (0.25)^3} \approx 0.984615 \)

\( f(0.375) = \frac{1}{1 + (0.375)^3} \approx 0.95067 \)

\( f(0.5) = \frac{1}{1 + (0.5)^3} \approx 0.888889 \)

Теперь используем формулу метода трапеций:

\( I \approx \frac{h}{2} \left[f(0) + 2 \cdot (f(0.125) + f(0.25) + f(0.375)) + f(0.5)\right] \)

Подставляем значения:

\( I \approx \frac{0.125}{2} \left[1 + 2 \cdot (0.998047 + 0.984615 + 0.95067) + 0.888889\right] \)

\( I \approx 0.0625 \cdot (1 + 2 \cdot 2.933332 + 0.888889) \)

\( I \approx 0.0625 \cdot 7.755553 = 0.484722 \)

Таким образом, приближённое значение интеграла с точностью до 0.001:

\( I \approx 0.485 \)

Ответ:

Приближённое значение интеграла \( \int_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^3} \, dx \approx 0.485 \) с точностью \( \varepsilon = 0.001 \).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн