Вычислить определённый интеграл с заданной точностью с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды, определённые интегралы, приближённые вычисления

Задание:
Вычислить определённый интеграл с заданной точностью [\varepsilon = 0{,}001] с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд:

\[ \int_0^{0.5} \frac{1}{1 + x^5} \, dx \]

Шаг 1: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Подынтегральная функция:

\[ \frac{1}{1 + x^5} \]

напоминает геометрическую прогрессию:

\[ \frac{1}{1 + x^5} = \frac{1}{1 - (-x^5)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{5n}, \quad \text{при } |x^5| < 1 \]

Так как [x \in [0, 0.5]], то [x^5 \leq 0.5^5 = \frac{1}{32}], следовательно, ряд сходится на всём отрезке интегрирования.

Шаг 2: Подстановка разложения в интеграл

\[ \int_0^{0.5} \frac{1}{1 + x^5} \, dx = \int_0^{0.5} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{5n} \, dx \]

Можно поменять местами сумму и интеграл (равномерная сходимость на [0, 0.5]):

\[ = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^{0.5} x^{5n} \, dx \]

Посчитаем интеграл:

\[ \int_0^{0.5} x^{5n} \, dx = \left[ \frac{x^{5n+1}}{5n+1} \right]_0^{0.5} = \frac{(0.5)^{5n+1}}{5n+1} \]

Таким образом, получаем:

\[ \int_0^{0.5} \frac{1}{1 + x^5} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(0.5)^{5n+1}}{5n+1} \]

Шаг 3: Вычисление суммы с заданной точностью [\varepsilon = 0.001]

Вычисляем члены ряда, пока модуль следующего члена не станет меньше [0.001].

Обозначим:

\[ a_n = (-1)^n \cdot \frac{(0.5)^{5n+1}}{5n+1} \]

Вычислим первые несколько членов:

• [a_0 = \frac{(0.5)^1}{1} = 0.5]
• [a_1 = -\frac{(0.5)^6}{6} = -\frac{1}{64 \cdot 6} \approx -0.002604]
• [a_2 = \frac{(0.5)^{11}}{11} = \frac{1}{2048 \cdot 11} \approx 0.000043]

Третий член [|a_2| \approx 0.000043 < 0.001], значит, можно ограничиться первыми двумя членами:

\[ S \approx a_0 + a_1 = 0.5 - 0.002604 \approx 0.497396 \]

Ответ:

\[ \int_0^{0.5} \frac{1}{1 + x^5} \, dx \approx 0.497 \quad \text{(с точностью до } \varepsilon = 0.001) \]