Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав её почленно

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (интегралы, ряды)

Задача:

Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав её почленно:

 \int_{0}^{1} \cos^3\sqrt[3]{x} \, dx 

Решение:

1. Разложение функции в ряд
   Подынтегральная функция \cos^3 \sqrt[3]{x} можно выразить через тригонометрическое тождество:
   \cos^3 t = \frac{1}{4} (3 \cos t + \cos 3t).
   Тогда:
   \cos^3 \sqrt[3]{x} = \frac{1}{4} \big(3 \cos \sqrt[3]{x} + \cos (3 \sqrt[3]{x})\big).

   Теперь разложим каждую косинусную функцию в ряд Тейлора около точки 0.
   Для \cos t разложение имеет вид:
   \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \frac{t^6}{6!} + \dots.

   Подставляем t = \sqrt[3]{x} в этот ряд:
   \cos \sqrt[3]{x} = 1 - \frac{x^{2/3}}{2!} + \frac{x^{4/3}}{4!} - \frac{x^{6/3}}{6!} + \dots.

   Аналогично для \cos (3 \sqrt[3]{x}):
   \cos (3 \sqrt[3]{x}) = 1 - \frac{(3 \sqrt[3]{x})^2}{2!} + \frac{(3 \sqrt[3]{x})^4}{4!} - \dots.

   Подставляем эти ряды в выражение для \cos^3 \sqrt[3]{x}:
    \cos^3 \sqrt[3]{x} = \frac{1}{4} \Big(3 \big(1 - \frac{x^{2/3}}{2!} + \frac{x^{4/3}}{4!} - \dots\big) + \big(1 - \frac{(3x^{1/3})^2}{2!} + \frac{(3x^{1/3})^4}{4!} - \dots\big)\Big). 

   Упростим первые несколько членов ряда:
    \cos^3 \sqrt[3]{x} = \frac{1}{4} \Big(3 + 1 - \frac{3x^{2/3}}{2} - \frac{9x^{2/3}}{2} + \frac{3x^{4/3}}{24} + \dots\Big). 

   Итоговое приближённое разложение:
    \cos^3 \sqrt[3]{x} \approx 1 - 3x^{2/3} + \frac{x^{4/3}}{8} + \dots .

2. Интегрирование ряда почленно
   Интегрируем каждый член ряда на отрезке [0, 1]:
    \int_{0}^{1} \cos^3 \sqrt[3]{x} \, dx \approx \int_{0}^{1} 1 \, dx - 3 \int_{0}^{1} x^{2/3} \, dx + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} x^{4/3} \, dx. 

   Интегралы вычисляем по формуле:
   \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

   • Первый интеграл:
     \int_{0}^{1} 1 \, dx = \Big[x\Big]_{0}^{1} = 1.

   • Второй интеграл:
     \int_{0}^{1} x^{2/3} \, dx = \Big[\frac{x^{5/3}}{5/3}\Big]_{0}^{1} = \frac{3}{5}.

   • Третий интеграл:
     \int_{0}^{1} x^{4/3} \, dx = \Big[\frac{x^{7/3}}{7/3}\Big]_{0}^{1} = \frac{3}{7}.

3. Подставляем значения:
    \int_{0}^{1} \cos^3 \sqrt[3]{x} \, dx \approx 1 - 3 \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{7}. 

4. Вычисления
    \int_{0}^{1} \cos^3 \sqrt[3]{x} \, dx \approx 1 - \frac{9}{5} + \frac{3}{56}. 

   Приводим к общему знаменателю:
    1 = \frac{280}{280}, \quad \frac{9}{5} = \frac{504}{280}, \quad \frac{3}{56} = \frac{15}{280}. 

    \int_{0}^{1} \cos^3 \sqrt[3]{x} \, dx \approx \frac{280}{280} - \frac{504}{280} + \frac{15}{280} = \frac{-209}{280}. 

   Приблизительное значение:
    \int_{0}^{1} \cos^3 \sqrt[3]{x} \, dx \approx -0.746. 

Ответ:

\int_{0}^{1} \cos^3 \sqrt[3]{x} \, dx \approx -0.746.