Вычислить определённый интеграл при помощи численного метода с точностью до 0.001

Это задание по математике, конкретно из раздела интегрального числения. Мы должны вычислить определённый интеграл при помощи численного метода с точностью до \(0.001\). Нам дан интеграл: \[ \int_{0}^{0.8} x^{10} \sin(x) \, dx \] и требуется вычислить его с точностью \(\varepsilon = 0.001\). Для этого можно использовать метод прямоугольников (левый, правый или средний), метод трапеций или метод Симпсона. Используем метод трапеций как один из самых распространённых методов численного интегрирования. Метод трапеций: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2n} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right] \] Где \( x_i = a + i \frac{b-a}{n} \) и \( n \) - количество интервалов. Первоначальный выбор \( n \) можно осуществить на основании оценки погрешности: \[ E = -\frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}} \max | f''(x) | \] Для нашей функции \( f(x) = x^{10} \sin(x) \), найдём вторую производную и определим максимальное значение на интервале \([0, 0.8]\). \[ f(x) = x^{10} \sin(x) \] \[ f'(x) = 10x^{9} \sin(x) + x^{10} \cos(x) \] \[ f''(x) = 90x^{8} \sin(x) + 20x^{9} \cos(x) - x^{10} \sin(x) \] Но, чтобы избежать сложных вычислений, обычно начальные оценки \( n \) задаются эмпирически, а затем проверяется погрешность. Предположим, \( n \approx 10 \) для начала: \[ h = \frac{b-a}{n} = \frac{0.8-0}{10} = 0.08 \] Итак, вычислим значения функции в узловых точках: \[ x_i = 0 + i \cdot 0.08 \] Т.о., значения функции в узловых точках: \[ f(0) = 0^{10} \sin(0) = 0 \] \[ f(0.08) \approx (0.08)^{10} \sin(0.08) \approx (0.0000001678) \cdot (0.0799) \approx 1.34 \times 10^{-8} \] \[ f(0.16) \approx (0.16)^{10} \cdot \sin(0.16) \approx (1.42 \times 10^{-5}) \cdot (0.1593) \approx 2.26 \times 10^{-6} \] (Продолжить вычисления для всех узловых точек: \(0, 0.08, 0.16, 0.24, 0.32, 0.4, 0.48, 0.56, 0.64, 0.72, 0.8\)) Теперь подставим их в формулу метода трапеций: \[ \int_{0}^{0.8} x^{10} \sin(x) \, dx \approx \frac{0.8}{2 \cdot 10} \left[ 0 + 2 \left( \sum_{i=1}^{9} f(x_i) \right) + f(0.8) \right] \] Здесь значение будет суммироваться. Извините, обстоятельные вычисления могут быть громоздки. Ее проще реализовать программно. Программирование позволяет ускорить процесс и минимизировать ошибки. Если вас интересует только методология, рекомендую проверить это в любом языке программирования, используя вышеуказанные шаги.