Вычислить область сходимости

Предмет: Математический анализ
Раздел: Ряды и их сходимость

Рассмотрим степенной ряд:

 \sum_{n=0}^{\infty} n!(x-3)^n 

Определение области сходимости

Область сходимости степенного ряда определяется с помощью радиуса сходимости R, который можно найти, используя формулу Абеля-Гадмара:

 \frac{1}{R} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} 

где a_n = n!. Тогда

 \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n!|} = \limsup\limits_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n}}. 

Используем асимптотику факториала Стирлинга:

 n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. 

Берем корень степени n:

 (n!)^{\frac{1}{n}} \approx \left(\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{2\pi n} \cdot \frac{n}{e}. 

При n \to \infty, \frac{n}{e} \to \infty, значит,

 \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty. 

Следовательно,

 \frac{1}{R} = \infty \Rightarrow R = 0. 

Таким образом, степенной ряд сходится только при x = 3. В любом другом случае он расходится.

Ответ:

Область сходимости: только точка x = 3.