Вычислить интегралы. в декартовой системе координат сделать рисунок контура интегрирования

Это задание относится к математическому анализу, раздел комплексного анализа. Нам нужно вычислить интеграл от функции \(\cos^2 z\) по контуру в комплексной плоскости. Контур \(L\) — это отрезок прямой между точками \(z_1 = 0\) и \(z_2 = i\).

Рассмотрим параметризацию контура

Пусть \(z(t) = it\), где \(t\) изменяется от 0 до 1. Тогда \(dz = i \, dt\).

Подставим \(z(t)\) в \(\cos^2 z\):

1. \(z = it \Rightarrow \cos z = \cos(it) = \cosh(t)\)
2. \(\cos^2 z = \cosh^2 t\)

Теперь выразим интеграл через \(t\):

\[ \int_L \cos^2 z \, dz = \int_0^1 \cosh^2 t \cdot i \, dt = i \int_0^1 \cosh^2 t \, dt \]

Используем тригонометрическую идентичность

\(\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh(2t)}{2}\):

\[ i \int_0^1 \cosh^2 t \, dt = i \int_0^1 \frac{1 + \cosh(2t)}{2} \, dt = \frac{i}{2} \int_0^1 (1 + \cosh(2t)) \, dt = \frac{i}{2} \left( \int_0^1 1 \, dt + \int_0^1 \cosh(2t) \, dt \right) \]

Посчитаем интегралы

1. \(\int_0^1 1 \, dt = 1\)
2. \(\int_0^1 \cosh(2t) \, dt = \frac{1}{2} \sinh(2t) \bigg|_0^1 = \frac{1}{2} \sinh(2) - \frac{1}{2} \sinh(0) = \frac{1}{2} \sinh(2)\)

Подставим значения:

\[ \frac{i}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \sinh(2) \right) = \frac{i}{2} + \frac{i}{4} \sinh(2) = \frac{i}{2}(1 + \frac{1}{2} \sinh(2)) \]

Ответ

\(\frac{i}{2} + \frac{i}{4} \sinh(2)\).

Теперь изобразим контур

В декартовой системе координат контур \(L\) соединяет точку (0, 0) с точкой (0, 1). Это вертикальная линия на действительной оси вдоль мнимой оси от 0 до 1.