Вычислить интегралы

Этот вопрос относится к разделу математического анализа, а именно к комплексному анализу (интегралы комплексных функций). Давайте разберем каждый пункт по очереди.

а) Интеграл \[ \oint_L z \, \operatorname{Im}(z^2) \, dz, \] где \(L\) — граница области \( \{ \operatorname{Im} z < 0, \, |z| < 2 \} \).

Решение:

1. Область интегрирования:
   • \( \operatorname{Im} z < 0 \): это нижняя полуплоскость.
   • \( |z| < 2 \): область внутри круга с центром в начале координат и радиусом 2.
   • Значит, \( L \) — это граница участка данного круга в нижней полуплоскости (дуга с радиусом 2, проходящая по нижней полуплоскости).
2. Функция под интегралом:
   • Рассмотрим \( z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy \), где \( z = x + iy \). Здесь \( \operatorname{Im}(z^2) = 2xy \), то есть \( \operatorname{Im}(z^2) = \operatorname{Im}(z \cdot z) \).
   • Таким образом, интеграл преобразуется в: \[ \oint_L z \cdot \operatorname{Im}(z^2) \, dz = \oint_L z \cdot 2xy \, dz. \]
3. Метод решения:
   • Можно воспользоваться теоремой Коши, если функция, которую мы рассматриваем, аналитична внутри контура \( L \).
   • Нужно рассмотреть все особенности функции на области \( L \).
   • Решение потребует детальных расчетов, что может требовать символьных преобразований.

б) Интеграл \[ \oint_L \frac{z}{(z - 2)(z + 4)^3} \, dz, \] где \( L: |z + 3| = 2 \).

Решение:

1. Область интегрирования:
   • Область интегрирования — \( L: |z + 3| = 2 \), это окружность с радиусом 2 и центром в точке \( z = -3 \).
2. Особенности функции:
   • Функция имеет особенности в точках \( z = 2 \) и \( z = -4 \).
   • Точка \( z = -4 \) находится внутри контура, тогда как точка \( z = 2 \) находится вне контура, так как \( |2 + 3| = 5 > 2 \).
3. Метод решения:
   • Внутри области интегрирования важна только особенность в \( z = -4 \).
   • Мы можем применить **теорему вычетов (резидуальная теорема)**, чтобы вычислить значение интеграла для особенности в точке \( z = -4 \).
   • В частности, нужно найти вычет функции в точке \( z = -4 \) и умножить его на \( 2\pi i \). Введем замену: \[ f(z) = \frac{z}{(z-2)(z+4)^3}. \] Для вычисления вычета в точке \( z = -4 \), продифференцируем функцию: \[ \text{Residue in } z = -4 \Rightarrow \text{вычет берем как коэффициент при } \frac{1}{(z+4)}. \] Вычисляем и подставляем этот вычет в формулу.

в) Интеграл \[ \int_0^{\frac{\pi}{2} + i} \sin z \, dz. \]

Решение:

1. Это интеграл по кривой от 0 до \( \frac{\pi}{2} + i \).
2. Путь интегрирования:
   • Путь интеграции идет от \( z = 0 \) до \( z = \frac{\pi}{2} + i \).
   • Этот путь можно разделить на два участка:
     • От \( z = 0 \) до \( z = \frac{\pi}{2} \) вдоль вещественной оси.
     • От \( z = \frac{\pi}{2} \) до \( z = \frac{\pi}{2} + i \) вдоль вертикальной прямой.
3. Интеграл можно вычислить по частям, рассматривая оба этих участка. Это стандартная техника интегралов комплексных функций.