Вычислить интеграл с точностью є = 10-3, разложив подынтегральную функцию в степенной ряди исследовав его на сходимость

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету математический анализ, а конкретно к разделу интегральное исчисление и ряды. В нем требуется найти определенный интеграл функции \(\arctg(x^2)\) на промежутке от 0 до 0,8, используя разложение функции в степенной ряд и исследование сходимости.

Этапы решения

1. Разложение \(\arctg(x^2)\) в степенной ряд. Мы знаем, что арктангенс \( \arctg(y) \) можно разложить в степенной ряд при малых \(y\): \[ \arctg(y) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{y^{2n+1}}{2n+1}, \quad |y| \leq 1 \] В нашем случае \(y = x^2\), так что подынтегральная функция \( \arctg(x^2) \) будет представлена как ряд: \[ \arctg(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{2n+1} \]
2. Интегрирование ряда по данному промежутку. Теперь интегрируем это выражение по \( x \) от 0 до 0,8. Это можно сделать покомпонентно, так как степенной ряд сходится достаточно быстро на данном промежутке благодаря малым значениям \(x\). Получим: \[ \int_0^{0.8} \arctg(x^2)\,dx = \int_0^{0.8} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{2n+1} dx \] Меняя местами интеграл и сумму (что возможно из-за равномерной сходимости ряда на данном промежутке), мы получаем: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \int_0^{0.8} x^{4n+2}\,dx \]
3. Вычисление компоненты интеграла. Интеграли вида \( \int_0^{a} x^{k}\,dx \) считаются по формуле: \[ \int_0^{a} x^k dx = \frac{a^{k+1}}{k+1} \] Тогда: \[ \int_0^{0.8} x^{4n+2} dx = \frac{0.8^{4n+3}}{4n+3} \]
4. Вычисление суммы ряда с заданной точностью \( \varepsilon = 10^{-3} \). Теперь собираем ряд: \[ \int_0^{0.8} \arctg(x^2)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{0.8^{4n+3}}{(2n+1)(4n+3)} \] Нам нужно вычислить этот ряд с точностью до \( \varepsilon = 10^{-3} \). Для этого можно посчитать несколько первых членов и оценить остаток ряда.
5. Сходимость ряда. Для того, чтобы проверить сходимость ряда, воспользуемся абсолютным рядом. По критерию Лейбница, если члены ряда стремятся к нулю и знаки чередуются, ряд сходится. В нашем случае каждый следующий член убывает, потому что \( \frac{0.8^{4n+3}}{(2n+1)(4n+3)} \) стремится к нулю при больших \(n\).

Приближенное вычисление

Посчитаем несколько первых членов:

1. Для \( n = 0 \): \[ (-1)^0 \frac{0.8^3}{(2(0)+1)(4(0)+3)} = \frac{0.512}{1 \times 3} = 0.1707 \]
2. Для \( n = 1 \): \[ (-1)^1 \frac{0.8^7}{(2(1)+1)(4(1)+3)} = - \frac{0.2097152}{3 \times 7} \approx -0.009994 \]
3. Для \( n = 2 \): \[ (-1)^2 \frac{0.8^{11}}{(2(2)+1)(4(2)+3)} = \frac{0.0858993}{5 \times 11} \approx 0.001563 \]

Последующие члены будут еще меньше. Теперь сложим первые три члена ряда:

Таким образом, приближенное значение интеграла с точностью \( \varepsilon = 10^{-3} \) равно 0.162.

Ответ:

\[ \int_0^{0.8} \arctg(x^2) dx \approx 0.162 \]