Вычислить интеграл с точностью E = 10^(-3), разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и исследовав его на сходимость. Интеграл от 0 до 0,6=exp^(-2x^2)dx

Определение предмета и раздела предмета:

• Предмет: Математика.
• Раздел: Математический анализ, интегралы, ряды Тейлора и степень сходимости.

Задание:

Необходимо вычислить интеграл \( I = \int_0^{0.6} e^{-2x^2} dx \) с точностью \( \varepsilon = 10^{-3} \). Предлагается решить задачу с помощью разложения подынтегральной функции \( e^{-2x^2} \) в степенной ряд, а также исследовать его на сходимость.

Шаг 1: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд.

Для того чтобы разложить функцию \( e^{-2x^2} \) в степенной ряд, воспользуемся известным разложением экспоненциальной функции в ряд Тейлора:

\[ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, \quad |z| < \infty. \]

Заменим \( z = -2x^2 \) в этом ряде. Тогда:

\[ e^{-2x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^{2n}}{n!}. \]

Таким образом, получили разложение функции \( e^{-2x^2} \) в виде степенного ряда:

\[ e^{-2x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^{2n}}{n!}. \]

Шаг 2: Интегрирование ряда.

Теперь необходимо проинтегрировать полученный степенной ряд по переменной \( x \) на интервале от 0 до 0.6:

\[ I = \int_0^{0.6} e^{-2x^2} dx = \int_0^{0.6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^{2n}}{n!} dx. \]

Сумму можно занести под знак интеграла:

\[ I = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \int_0^{0.6} x^{2n} dx. \]

Вычислим интеграл для каждого члена ряда:

\[ \int_0^{0.6} x^{2n} dx = \frac{0.6^{2n+1}}{2n+1}. \]

Тогда итоговое выражение для интеграла:

\[ I = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \cdot \frac{0.6^{2n+1}}{2n+1}. \]

Шаг 3: Численное вычисление с точностью \( \varepsilon = 10^{-3} \).

Теперь необходимо вычислить сумму ряда с точностью до \( \varepsilon = 10^{-3} \). Для этого будем суммировать члены ряда до тех пор, пока очередной член суммы по модулю не станет меньше \( \varepsilon \). Запишем выражение для общего члена ряда:

\[ a_n = \frac{(-2)^n}{n!} \cdot \frac{0.6^{2n+1}}{2n+1}. \]

Будем последовательно вычислять значения членов ряда \( a_n \) и суммировать их.

Шаг 4: Проверка точности и вычисление суммы.

Будем суммировать члены ряда по порядку:

\( S_0 = 0.6, \)

\( S_1 = 0.6 - 0.144 = 0.456, \)

\( S_2 = 0.456 + 0.0311 = 0.4871, \)

\( S_3 = 0.4871 - 0.00533 = 0.48177. \)

Далее:

\( S_4 = 0.48177 + 0.000747 = 0.482517. \)

На данном этапе можно остановиться, так как добавление следующего члена \( a_4 \approx 0.000747 \) изменило сумму меньше, чем на \( \varepsilon = 0.001 \). Получившееся значение: \( 0.482517 \).

Ответ:

\[ I \approx 0.482517. \]

Таким образом, значение интеграла с точностью \( 10^{-3} \) равно \( 0.483 \).