Вычислить интеграл с точность до 0.001, разложи интеграл ну функцию в степенной ряд и исследовать его на сходимость

Условие:

Вычислить интеграл с точность до 0.001, разложи интеграл ну функцию в степенной ряд и исследовать его на сходимость

Условие: Вычислить интеграл с точность до 0.001, разложи интеграл ну функцию в степенной ряд и исследовать его на сходимость

Решение:

Данное задание относится к разделу математического анализа, а именно к теме вычисления определённых интегралов и разложения функции в степенной ряд. Нам дан интеграл вида: \[I=00.21exxdx.\]
Часть 1: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Для начала разложим функцию \(ex\) в степенной ряд по Тейлору: \[ex=1x+x22!x33!+x44!\]

Таким образом, выражение \(1ex\) можно записать следующим образом: \[1ex=1(1x+x22!x33!+)=xx22!+x33!x44!+\]

Теперь подставим это разложение в функцию: \[1exx=xx22!+x33!x=1x2!+x23!x34!+\] Таким образом, подынтегральная функция разложена в ряд: \[1exx=1x2!+x23!x34!+\]

Часть 2: Исследование сходимости

Данный степенной ряд представляет собой знакочередующийся ряд. Согласно признаку Лейбница, такой ряд сходится при любых конечных \(x\). Поскольку предел общего члена стремится к нулю по мере возрастания номера члена, ряд сходится для всех значений \(x0\).

Часть 3: Численное вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл численно с точностью до 0.001, используя разложение в ряд: \[I=00.2(1x2!+x23!x34!+)dx.\]

Для вычисления этого интеграла, найдем интегралы для первых нескольких членов ряда: \[00.21dx=0.2,\] \[00.2x2!dx=12(0.2)22=0.01,\] \[00.2x23!dx=16(0.2)330.000267,\] \[00.2x34!dx=1/24(0.2)440.0000267.\]

Теперь сложим первые несколько слагаемых: \[I0.20.01+0.0002670.00002670.1902403.\] Таким образом, интеграл с точностью до 0.001 будет равен: \[I0.190.\]

Ответ: \[I0.190сточностьюдо0.001.\]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут