Вычислить интеграл с точность до 0.001, разложи интеграл ну функцию в степенной ряд и исследовать его на сходимость

Данное задание относится к разделу математического анализа, а именно к теме вычисления определённых интегралов и разложения функции в степенной ряд. Нам дан интеграл вида: $\text{[}I={\int }_0^{0.2}\frac{1-e^{-x}}{x}dx.\text{]}$

Часть 1: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Для начала разложим функцию $\text{(}{e}^{-x}\text{)}$ в степенной ряд по Тейлору: $\text{[}{e}^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\dots \text{]}$

Таким образом, выражение $\text{(}1-e^{-x}\text{)}$ можно записать следующим образом: $\text{[}1-e^{-x}=1-(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\dots )=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+\dots \text{]}$

Теперь подставим это разложение в функцию: $\text{[}\frac{1-e^{-x}}{x}=\frac{x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\dots }{x}=1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}-\frac{x^3}{4!}+\dots \text{]}$ Таким образом, подынтегральная функция разложена в ряд: $\text{[}\frac{1-e^{-x}}{x}=1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}-\frac{x^3}{4!}+\dots \text{]}$

Часть 2: Исследование сходимости

Данный степенной ряд представляет собой знакочередующийся ряд. Согласно признаку Лейбница, такой ряд сходится при любых конечных $\text{(}x\text{)}$. Поскольку предел общего члена стремится к нулю по мере возрастания номера члена, ряд сходится для всех значений $\text{(}x\ge 0\text{)}$.

Часть 3: Численное вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл численно с точностью до 0.001, используя разложение в ряд: $\text{[}I={\int }_0^{0.2}(1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}-\frac{x^3}{4!}+\dots )dx.\text{]}$

Для вычисления этого интеграла, найдем интегралы для первых нескольких членов ряда: $\text{[}{\int }_0^{0.2}1dx=0.2,\text{]}$ $\text{[}{\int }_0^{0.2}\frac{x}{2!}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(0.2{)}^2}{2}=0.01,\text{]}$ $\text{[}{\int }_0^{0.2}\frac{x^2}{3!}dx=\frac{1}{6}\cdot \frac{(0.2{)}^3}{3}\approx 0.000267,\text{]}$ $\text{[}{\int }_0^{0.2}\frac{x^3}{4!}dx=\frac{1/24}{\cdot }\frac{(0.2{)}^4}{4}\approx 0.0000267.\text{]}$

Теперь сложим первые несколько слагаемых: $\text{[}I\approx 0.2-0.01+0.000267-0.0000267\approx 0.1902403.\text{]}$ Таким образом, интеграл с точностью до 0.001 будет равен: $\text{[}I\approx 0.190.\text{]}$

Ответ: $\text{[}I\approx 0.190сточностьюдо0.001.\text{]}$