Вычислить интеграл с точность до 0.001, разложи интеграл ну функцию в степенной ряд и исследовать его на сходимость

Данное задание относится к разделу математического анализа, а именно к теме вычисления определённых интегралов и разложения функции в степенной ряд. Нам дан интеграл вида: \[ I = \int_0^{0.2} \frac{1 - e^{-x}}{x} \, dx. \]

Часть 1: Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Для начала разложим функцию \( e^{-x} \) в степенной ряд по Тейлору: \[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \]

Таким образом, выражение \( 1 - e^{-x} \) можно записать следующим образом: \[ 1 - e^{-x} = 1 - \left( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots \right) = x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^4}{4!} + \dots \]

Теперь подставим это разложение в функцию: \[ \frac{1 - e^{-x}}{x} = \frac{x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \dots}{x} = 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} - \frac{x^3}{4!} + \dots \] Таким образом, подынтегральная функция разложена в ряд: \[ \frac{1 - e^{-x}}{x} = 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} - \frac{x^3}{4!} + \dots \]

Часть 2: Исследование сходимости

Данный степенной ряд представляет собой знакочередующийся ряд. Согласно признаку Лейбница, такой ряд сходится при любых конечных \(x\). Поскольку предел общего члена стремится к нулю по мере возрастания номера члена, ряд сходится для всех значений \(x \geq 0\).

Часть 3: Численное вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл численно с точностью до 0.001, используя разложение в ряд: \[ I = \int_0^{0.2} \left( 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} - \frac{x^3}{4!} + \dots \right) dx. \]

Для вычисления этого интеграла, найдем интегралы для первых нескольких членов ряда: \[ \int_0^{0.2} 1 \, dx = 0.2, \] \[ \int_0^{0.2} \frac{x}{2!} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(0.2)^2}{2} = 0.01, \] \[ \int_0^{0.2} \frac{x^2}{3!} \, dx = \frac{1}{6} \cdot \frac{(0.2)^3}{3} \approx 0.000267, \] \[ \int_0^{0.2} \frac{x^3}{4!} \, dx = \frac{1/24} \cdot \frac{(0.2)^4}{4} \approx 0.0000267. \]

Теперь сложим первые несколько слагаемых: \[ I \approx 0.2 - 0.01 + 0.000267 - 0.0000267 \approx 0.1902403. \] Таким образом, интеграл с точностью до 0.001 будет равен: \[ I \approx 0.190. \]

Ответ: \[ I \approx 0.190 с точностью до 0.001. \]