Вычислить интеграл где часть окружности

Это задание по комплексному анализу, раздел интегральное исчисление. Нужно вычислить интеграл \(\int_{\gamma} (z^3 - 4z^4) \, dz\), где \(\gamma\) — часть окружности \(|z| = 3\), \(\!\!0 \leq \arg z \leq \frac{\pi}{2}\).

Параметризация окружности

\(|z| = 3\), можно задать как \(z = 3e^{i\theta}\), где \(\theta\) изменяется от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\). Дифференциал: \(dz = i3e^{i\theta}d\theta\).

Подстановка параметризации в интеграл

1. \(z^3 = (3e^{i\theta})^3 = 27e^{3i\theta}\). 2. \(z^4 = (3e^{i\theta})^4 = 81e^{4i\theta}\).

Теперь можем подставить в интеграл:

Интеграл становится \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (27e^{3i\theta} - 4 \cdot 81e^{4i\theta}) i3e^{i\theta} d\theta\).

Раскрываем скобки

= \(3i \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (27e^{4i\theta} - 324e^{5i\theta}) d\theta\).

Решение интегралов

1. \(\int e^{4i\theta} d\theta = \frac{1}{4i} e^{4i\theta}\). 2. \(\int e^{5i\theta} d\theta = \frac{1}{5i}e^{5i\theta}\).

Подстановка

Подставляем в интеграл: = \(3i \left[\frac{27}{4i} e^{4i\theta} - \frac{324}{5i}e^{5i\theta}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\).

После упрощения пограничных условий \(\theta = 0\) и \(\theta = \frac{\pi}{2}\), вы получаете: = \(3i \left[\frac{27}{4i} (e^{2\pi i} - 1) - \frac{324}{5i}(e^{5\pi i/2} - 1)\right]\).

Простые расчеты

= \(3i \left[0 - \left(-\frac{324}{5}\right)\right]\).

= \(3i \cdot \frac{324}{5} = 972i/5\), что упрощается до \(-\frac{972}{5}\).

Таким образом, интеграл равен нулю.