Вычислить интеграл (0;1/2) x*cos(x/2) dx с точностью 0,001

Предмет: Математика (математический анализ)

Раздел: Интегралы

Для вычисления интеграла \(\int_{0}^{1/2} x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx\) с точностью до 0.001, сначала найдем общий аналитический вид (первообразную), а затем вычислим определенный интеграл.

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл \(\int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx\)

Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем \( u = x \), тогда \( du = dx \). Также выберем \( dv = \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx \), тогда \( v = \int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx \).

Вычислим \( v \): \[ v = \int \cos(t) \cdot 2 \, dt = 2 \int \cos(t) \, dt = 2 \sin(t) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \]

Теперь запишем исходный интеграл по формуле интегрирования по частям: \[ \int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = x \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \int 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx \]

И снова воспользуемся заменой \( t = \frac{x}{2} \). Интеграл \( \int \sin\left(\frac{x}{2}\right) dx \) будет равен: \[ \int \sin(t) \cdot 2 \, dt = -2 \cos(t) = -2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Подставляем обратно в формулу: \[ \int x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) - (-4 \cos\left(\frac{x}{2}\right)) = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Таким образом, получаем первообразную функции \( x \cos\left(\frac{x}{2}\right) \).

Шаг 2: Вычислим определенный интеграл \(\int_{0}^{1/2} x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx\)

Используем найденную первообразную: \[ F(x) = 2x \sin\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Вычислим значение первообразной в точках \( x = 1/2 \) и \( x = 0 \): \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + 4 \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \] и \[ F(0) = 4 \cdot 1 = 4 \]

Таким образом, вычисляем интеграл: \[ \int_{0}^{1/2} x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = F\left(\frac{1}{2}\right) - F(0) \]

При помощи калькулятора (который обеспечивает точность до 0.001), найдем значения тригонометрических функций: \[ \sin\left(\frac{1}{4}\right) \approx 0.247 \] и \[ \cos\left(\frac{1}{4}\right) \approx 0.969 \]

Итак: \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = 0.247 + 3.876 = 4.123 \] Тогда: \[ \int_{0}^{1/2} x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 4.123 - 4 = 0.123 \]

Таким образом, интеграл \(\int_{0}^{1/2} x \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx\) равен \( 0.123 \) с точностью до 0.001.