Вычислить интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ / Интегралы и функциональные ряды

Задание: 2. Вычислить интеграл \(\int_{0}^{0.5} xe^{-3x^3} \, dx\) с точностью до 0.001.

Решение:

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методами численного интегрирования, например методом трапеций или методом Симпсона.

Метод трапеций:

Интервал интегрирования \([0, 0.5]\) разбиваем на \(n\) равных частей длиной \(\Delta x = \frac{0.5 - 0}{n} = \frac{0.5}{n}\).

Формула метода трапеций:

\[ \int_{0}^{0.5} f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right] \]

Функция \( f(x) = xe^{-3x^3} \).

Шаг 1: Установим \( n = 10 \):

\[ \Delta x = \frac{0.5}{10} = 0.05 \]

Шаг 2: Вычислим значения функции в узловых точках:

\[ \begin{aligned} f(0.0) &= 0 \cdot e^{-3 \cdot 0^3} = 0, \\ f(0.05) &= 0.05 \cdot e^{-3 \cdot (0.05)^3} \approx 0.05 \cdot e^{-3 \cdot 0.000125} \approx 0.05 \cdot e^{-0.000375} \approx 0.05 \cdot 0.999625 \approx 0.04998125, \\ f(0.1) &= 0.1 \cdot e^{-3 \cdot (0.1)^3} \approx 0.1 \cdot e^{-3 \cdot 0.001} \approx 0.1 \cdot e^{-0.003} \approx 0.1 \cdot 0.9970045 \approx 0.09970045, \\ f(0.15) &= 0.15 \cdot e^{-3 \cdot (0.15)^3} \approx 0.15 \cdot e^{-3 \cdot 0.003375} \approx 0.15 \cdot e^{-0.010125} \approx 0.15 \cdot 0.989950 \approx 0.1484925, \\ f(0.2) &= 0.2 \cdot e^{-3 \cdot (0.2)^3} \approx 0.2 \cdot e^{-3 \cdot 0.008} \approx 0.2 \cdot e^{-0.024} \approx 0.2 \cdot 0.976112 \approx 0.1952224, \\ f(0.25) &= 0.25 \cdot e^{-3 \cdot (0.25)^3} \approx 0.25 \cdot e^{-3 \cdot 0.015625} \approx 0.25 \cdot e^{-0.046875} \approx 0.25 \cdot 0.954197 \approx 0.23854925, \\ f(0.3) &= 0.3 \cdot e^{-3 \cdot (0.3)^3} \approx 0.3 \cdot e^{-3 \cdot 0.027} \approx 0.3 \cdot e^{-0.081} \approx 0.3 \cdot 0.922977 \approx 0.2768931, \\ f(0.35) &= 0.35 \cdot e^{-3 \cdot (0.35)^3} \approx 0.35 \cdot e^{-3 \cdot 0.042875} \approx 0.35 \cdot e^{-0.128625} \approx 0.35 \cdot 0.883521 \approx 0.30923235, \\ f(0.4) &= 0.4 \cdot e^{-3 \cdot (0.4)^3} \approx 0.4 \cdot e^{-3 \cdot 0.064} \approx 0.4 \cdot e^{-0.192} \approx 0.4 \cdot 0.826787 \approx 0.3307148, \\ f(0.45) &= 0.45 \cdot e^{-3 \cdot (0.45)^3} \approx 0.45 \cdot e^{-3 \cdot 0.091125} \approx 0.45 \cdot e^{-0.273375} \approx 0.45 \cdot 0.752515 \approx 0.33863175, \\ f(0.5) &= 0.5 \cdot e^{-3 \cdot (0.5)^3} \approx 0.5 \cdot e^{-3 \cdot 0.125} \approx 0.5 \cdot e^{-0.375} \approx 0.5 \cdot 0.687289 \approx 0.3436445. \end{aligned} \]

Шаг 3: Применим формулу метода трапеций:

\[ \int_{0}^{0.5} xe^{-3x^3} \, dx \approx \frac{0.05}{2} \left[ 0 + 2 (0.04998125 + 0.09970045 + 0.1484925 + 0.1952224 + 0.23854925 + 0.2768931 + 0.30923235 + 0.3307148 + 0.33863175) + 0.3436445 \right]. \]

\[ \approx \frac{0.05}{2} \left[ 2 \cdot 1.98741885 + 0.3436445 \right] \approx \frac{0.05}{2} \cdot 4.3184822 \approx 0.05 \cdot 2.1592411 \approx 0.107962055 \]

Метод трапеций дает значение интеграла приблизительно \(0.107962055\), что округляется до \(0.108\) с точностью до \(0.001\).

Таким образом, значение интеграла приблизительно равно \(0.108\) с точностью до \(0.001\).