Вычислить двойной интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, Интегралы

Задание: Вычислить двойной интеграл \( \iint_{D} x \, dx \, dy \), причем область интегрирования \( D \) ограничена кривыми \( y = x^2 + x + 1 \) и \( y = 6 - 3x \).

Решение:

1. Находим точки пересечения кривых: \[ x^2 + x + 1 = 6 - 3x \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + x + 1 = 6 - 3x \implies x^2 + 4x - 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -5 \] Таким образом, точки пересечения кривых: \( x = 1 \) и \( x = -5 \).
2. Определяем порядок интегрирования: Поскольку область \( D \) ограничена между кривыми \( y = x^2 + x + 1 \) снизу и \( y = 6 - 3x \) сверху, сначала будем интегрировать по \( y \), потом по \( x \): \[ \iint_{D} x \, dx \, dy = \int_{x=-5}^{1} \int_{y = x^2 + x + 1}^{y = 6 - 3x} x \, dy \, dx \]
3. Интегрируем по \( y \): Пусть внешний интеграл остается пока открытым: \[ \int_{x=-5}^{1} \left( \int_{y = x^2 + x + 1}^{y = 6 - 3x} x \, dy \right) dx \] Внутренний интеграл: \[ \int_{y = x^2 + x + 1}^{y = 6 - 3x} x \, dy = x \left[ y \right]_{y = x^2 + x + 1}^{y = 6 - 3x} = x \left( (6 - 3x) - (x^2 + x + 1) \right) \] Упрощаем выражение внутри скобок: \[ 6 - 3x - x^2 - x - 1 = -x^2 - 4x + 5 \] Следовательно: \[ \int_{y = x^2 + x + 1}^{y = 6 - 3x} x \, dy = x (-x^2 - 4x + 5) = -x^3 - 4x^2 + 5x \]
4. Интегрируем по \( x \): Теперь внешний интеграл: \[ \int_{x=-5}^{1} (-x^3 - 4x^2 + 5x) \, dx \] Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: \[ \int_{x=-5}^{1} (-x^3) \, dx + \int_{x=-5}^{1} (-4x^2) \, dx + \int_{x=-5}^{1} 5x \, dx \] Интегрируем каждую часть отдельно: \[ \int_{x=-5}^{1} (-x^3) \, dx = -\frac{x^4}{4} \bigg|_{-5}^{1} = -\left( \frac{1^4}{4} - \frac{(-5)^4}{4} \right) = -\left( \frac{1}{4} - \frac{625}{4} \right) = -\left( \frac{1 - 625}{4} \right) = -\left( \frac{-624}{4} \right) = 156 \] \[ \int_{x=-5}^{1} (-4x^2) \, dx = -4 \frac{x^3}{3} \bigg|_{-5}^{1} = -4 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-5)^3}{3} \right) = -4 \left( \frac{1}{3} - \frac{-125}{3} \right) = -4 \left( \frac{1 + 125}{3} \right) = -4 \cdot \frac{126}{3} = -168 \] \[ \int_{x=-5}^{1} 5x \, dx = 5 \frac{x^2}{2} \bigg|_{-5}^{1} = 5 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{(-5)^2}{2} \right) = 5 \left( \frac{1}{2} - \frac{25}{2} \right) = 5 \left( \frac{1 - 25}{2} \right) = 5 \left( \frac{-24}{2} \right) = 5(-12) = -60 \] Складываем полученные значения: \[ 156 - 168 - 60 = -72 \] Таким образом, значение двойного интеграла равно \(-72\).