Вычислить для сходящегося ряда

Это задание по высшей математике, конкретно по теме "Ряды". Необходимо вычислить предел суммы \( S_n \) для ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\).

1. Расписываем общий член ряда:

Начнем с упрощения общего члена ряда. Имеем: \[\frac{1}{n(n+1)}\]

Это можно разложить на два простых дроби с помощью метода разложения на простые дроби: \[\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}\]

Для нахождения \(A\) и \(B\) умножаем на общий знаменатель \(n(n+1)\):

\[1 = A(n+1) + Bn\]

Раскрываем скобки:

\[1 = An + A + Bn\]

Объединяем подобные члены:

\[1 = (A + B)n + A\]

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(n\):

\[\begin{cases} A + B = 0 \\ A = 1 \end{cases}\]

Решаем систему уравнений и находим:

\[ A = 1, \quad B = -1 \]

Получаем:

\[\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\]

2. Используем телескопическую сумму:

Теперь рассмотрим частичную сумму \( S_n \), где \( S_n \) обозначает сумму первых \( n \) членов ряда:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \]

Распишем несколько первых членов суммы:

\[ S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \]

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются и остается только первый и последний член:

\[ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \]

3. Находим предел:

Чтобы найти предел суммы \( S_n \), когда \( n \) стремится к бесконечности, рассмотрим:

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \]

Известно, что:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 \]

Следовательно:

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 - 0 = 1 \]

Таким образом, сумма ряда равна:

\[ S = 1 \]