Вычисления определённых интегралов с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и исследования рядов на сходимость

Определение предмета и раздела

Задание, которое нужно решить, относится к предмету "математический анализ", а более точно — к теме изучения интегралов, в частности вычисления определённых интегралов с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и исследования рядов на сходимость.

Задание

Вычислить интеграл: $\text{[}{\int }_0^{0.3}\frac{\sin (x^4)}{x^3}dx\text{]}$ с точностью $\text{(}\epsilon ={10}^{-3}\text{)}$, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и исследовав его на сходимость.

Пошаговое решение

Шаг 1: Разложение синуса в ряд Тейлора

Для начала используем известное разложение функции $\text{(}\sin (u)\text{)}$ в ряд Тейлора. Для синуса это выглядит следующим образом:

$\text{[}\sin (u)=u-\frac{u^3}{3!}+\frac{u^5}{5!}-\frac{u^7}{7!}+\cdots \text{]}$

Заменим $\text{(}u=x^4\text{)}$, поскольку в нашей подынтегральной функции присутствует $\text{(}\sin (x^4)\text{)}$:

$\text{[}\sin (x^4)=x^4-\frac{x^{12}}{6}+\frac{x^{20}}{120}-\frac{x^{28}}{5040}+\cdots \text{]}$

Шаг 2: Подставляем разложение в подынтегральную функцию

Теперь разложение для $\text{(}\sin (x^4)\text{)}$ подставляем в выражение для подынтегральной функции:

$\text{[}\frac{\sin (x^4)}{x^3}=\frac{x^4-\frac{x^{12}}{6}+\frac{x^{20}}{120}-\frac{x^{28}}{5040}+\cdots }{x^3}\text{]}$

Теперь упростим каждый член:

$\text{[}=x-\frac{x^9}{6}+\frac{x^{17}}{120}-\frac{x^{25}}{5040}+\cdots \text{]}$

Получим следующее разложение подынтегральной функции:

$\text{[}\frac{\sin (x^4)}{x^3}=x-\frac{x^9}{6}+\frac{x^{17}}{120}-\frac{x^{25}}{5040}+\cdots \text{]}$

Шаг 3: Интегрирование ряда

Теперь интегрируем каждый член полученного разложения по $\text{(}x\text{)}$ в пределах от 0 до 0.3:

$\text{[}{\int }_0^{0.3}(x-\frac{x^9}{6}+\frac{x^{17}}{120}-\frac{x^{25}}{5040}+\cdots )dx\text{]}$

Интегрируем по отдельности каждый член:

• $\text{(}{\int }_0^{0.3}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^{0.3}=\frac{{0.3}^2}{2}=0.045\text{)}$
• $\text{(}{\int }_0^{0.3}-\frac{x^9}{6}dx=-\frac{1}{6}\cdot \frac{x^{10}}{10}{|}_0^{0.3}=-\frac{1}{60}\cdot {0.3}^{10}\approx -2.029\times {10}^{-9}\text{)}$
• $\text{(}{\int }_0^{0.3}\frac{x^{17}}{120}dx=\frac{1}{120}\cdot \frac{x^{18}}{18}{|}_0^{0.3}=\frac{1}{2160}\cdot {0.3}^{18}\approx 1.944\times {10}^{-16}\text{)}$
• $\text{(}{\int }_0^{0.3}-\frac{x^{25}}{5040}dx=-\frac{1}{5040}\cdot \frac{x^{26}}{26}{|}_0^{0.3}\approx -4.534\times {10}^{-25}\text{)}$

Шаг 4: Суммируем результаты

Теперь складываем все интегралы:

$\text{[}0.045-2.029\times {10}^{-9}+1.944\times {10}^{-16}-4.534\times {10}^{-25}+\cdots \text{]}$

Так как члены начиная с $\text{(}{x}^{17}\text{)}$ и далее становятся слишком малыми по сравнению с первой величиной $\text{(}0.045\text{)}$ (учитывая, что точность $\text{(}\epsilon ={10}^{-3}\text{)}$), то на этом этапе можем ограничиться первым приближением:

$\text{[}{\int }_0^{0.3}\frac{\sin (x^4)}{x^3}dx\approx 0.045\text{]}$

Итог

С точностью до $\text{(}{10}^{-3}\text{)}$ значение интеграла приближённо равно: