Вычисления определённых интегралов с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и исследования рядов на сходимость

Определение предмета и раздела

Задание, которое нужно решить, относится к предмету "математический анализ", а более точно — к теме изучения интегралов, в частности вычисления определённых интегралов с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и исследования рядов на сходимость.

Задание

Вычислить интеграл: \[ \int_0^{0.3} \frac{\sin(x^4)}{x^3} \, dx \] с точностью \( \varepsilon = 10^{-3} \), разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и исследовав его на сходимость.

Пошаговое решение

Шаг 1: Разложение синуса в ряд Тейлора

Для начала используем известное разложение функции \( \sin(u) \) в ряд Тейлора. Для синуса это выглядит следующим образом:

\[\sin(u) = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \frac{u^7}{7!} + \cdots \]

Заменим \( u = x^4 \), поскольку в нашей подынтегральной функции присутствует \( \sin(x^4) \):

\[\sin(x^4) = x^4 - \frac{x^{12}}{6} + \frac{x^{20}}{120} - \frac{x^{28}}{5040} + \cdots \]

Шаг 2: Подставляем разложение в подынтегральную функцию

Теперь разложение для \( \sin(x^4) \) подставляем в выражение для подынтегральной функции:

\[\frac{\sin(x^4)}{x^3} = \frac{x^4 - \frac{x^{12}}{6} + \frac{x^{20}}{120} - \frac{x^{28}}{5040} + \cdots}{x^3}\]

Теперь упростим каждый член:

\[= x - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{17}}{120} - \frac{x^{25}}{5040} + \cdots \]

Получим следующее разложение подынтегральной функции:

\[\frac{\sin(x^4)}{x^3} = x - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{17}}{120} - \frac{x^{25}}{5040} + \cdots \]

Шаг 3: Интегрирование ряда

Теперь интегрируем каждый член полученного разложения по \( x \) в пределах от 0 до 0.3:

\[\int_0^{0.3} \left( x - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{17}}{120} - \frac{x^{25}}{5040} + \cdots \right) dx \]

Интегрируем по отдельности каждый член:

• \( \int_0^{0.3} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_0^{0.3} = \frac{0.3^2}{2} = 0.045 \)
• \( \int_0^{0.3} -\frac{x^9}{6} \, dx = -\frac{1}{6} \cdot \frac{x^{10}}{10} \Big|_0^{0.3} = -\frac{1}{60} \cdot 0.3^{10} \approx -2.029 \times 10^{-9}\)
• \( \int_0^{0.3} \frac{x^{17}}{120} \, dx = \frac{1}{120} \cdot \frac{x^{18}}{18} \Big|_0^{0.3} = \frac{1}{2160} \cdot 0.3^{18} \approx 1.944 \times 10^{-16}\)
• \( \int_0^{0.3} -\frac{x^{25}}{5040} \, dx = -\frac{1}{5040} \cdot \frac{x^{26}}{26} \Big|_0^{0.3} \approx -4.534 \times 10^{-25}\)

Шаг 4: Суммируем результаты

Теперь складываем все интегралы:

\[0.045 - 2.029 \times 10^{-9} + 1.944 \times 10^{-16} - 4.534 \times 10^{-25} + \cdots\]

Так как члены начиная с \(x^{17}\) и далее становятся слишком малыми по сравнению с первой величиной \(0.045\) (учитывая, что точность \( \varepsilon = 10^{-3} \)), то на этом этапе можем ограничиться первым приближением:

\[\int_0^{0.3} \frac{\sin(x^4)}{x^3} \, dx \approx 0.045\]

Итог

С точностью до \(10^{-3}\) значение интеграла приближённо равно: