Вычисление суммы ряда

Задание относится к предмету математический анализ, раздел — бесконечные ряды.

Первое задание требует вычисления суммы следующего ряда: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+3)} \)

Шаги решения:

1. Разложим дробь с помощью метода разложения на простейшие дроби: \[ \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+3} \]

   Найдем \(A\) и \(B\). Для этого представим исходную дробь следующим образом: \[ \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{A(n+3) + B(n+1)}{(n+1)(n+3)} \]

   \[ 1 = A(n+3) + B(n+1) \]

   Раскроем скобки: \[ 1 = A n + 3A + B n + B \]

   Теперь сгруппируем подобные: \[ 1 = (A + B)n + (3A + B) \]

   Для того чтобы равенство всегда было верным для всех \(n\), коэффициенты при \(n\) и свободный член должны быть равны соответствующим членам в правой части: \[ A + B = 0 \] \[ 3A + B = 1 \]

2. Решим систему уравнений:

   \[ A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = -A \] \[ 3A + B = 1 \quad \Rightarrow \quad 3A - A = 1 \quad \Rightarrow \quad 2A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{1}{2} \] \[ B = -A = -\frac{1}{2} \]

   Следовательно: \[ \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1/2}{n+1} - \frac{1/2}{n+3} \]

3. Подставляем разложение в сумму: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1/2}{n+1} - \frac{1/2}{n+3}\right) \]
4. Телескопическая сумма:

   При раскрытии ряда получится телескопический ряд — многие слагаемые сократятся. Выпишем несколько первых членов: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \dots \]

5. Окончательный результат:

   После сокращений: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{4} \]

   Таким образом, искомая сумма: \[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

В таком виде видно, что многие члены взаимно уничтожаются, и в конечном счете останутся только первые несколько членов.