Вычисление суммы бесконечного ряда

Без сомнения, это математическая задача, относящаяся к разделу "Ряды". На изображении представлен знак суммы, что указывает на необходимость вычисления суммы бесконечного ряда. Дана сумма ряда: \(\sum (-1)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\). Для решения этого задачи рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] Чтобы узнать, сходится ли этот ряд, мы применим критерий Лейбница для чередующихся рядов, согласно которому ряд сумма чередующегося ряда \(\sum (-1)^n a_n\) сходится, если:

1. \(a_n \ge 0\) для всех \(n\).
2. Последовательность \(a_n\) убывает.
3. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

В нашем случае \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\). Проведем анализ по каждому пункту:

1. \(\frac{1}{\sqrt{n}} \ge 0\) для всех \(n\), так как это положительное число.
2. Последовательность \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) убывает с увеличением \(n\), поскольку \(\sqrt{n}\) возрастает.
3. \(\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\).

Все три условия выполнены, следовательно, ряд сходится по критерию Лейбница. Теперь оценим сумму ряда более точно. Для этого напомним, что сумма сходящегося чередующегося ряда не обязательно легко вычисляема, но мы можем сделать приближение. Таким образом, для данного случая можно заключить, что: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \text{ сходится} \] Это и будет итогом нашего решения. Благодарю за внимание.