Восстановление аналитической функции, по известной мнимой части

Предмет: Комплексный анализ (раздел комплексных аналитических функций)

Задача состоит в восстановлении аналитической функции \( f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) \), по известной мнимой части \( v(x, y) \). Нам также известное дополнительное условие \( f(1) = 3 \), которое поможет найти константы.

Шаг 1: Условия для аналитической функции

Для аналитической функции \( f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) \), должны выполняться условия Коши — Римана:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]

Используя эти условия, мы сможем найти реальную часть \( u(x, y) \), зная мнимую часть \( v(x, y) \).

Шаг 2: Поиск частных производных от \( v(x, y) \)

Данная мнимая часть:

\[ v(x, y) = 3x^2y - y^3 + 2y. \]

Найдём частные производные функции \( v(x, y) \) по \(x\) и по \(y\):

\[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2y - y^3 + 2y) = 6xy. \]

\[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2y - y^3 + 2y) = 3x^2 - 3y^2 + 2. \]

Шаг 3: Найдем производные для \( u(x, y) \)

Теперь используем условия Коши — Римана:

1. \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2 + 2. \]
2. \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = -6xy. \]

Шаг 4: Интегрирование по \(x\) и \(y\)

Найдем \( u(x, y) \) путем интегрирования этих выражений:

1. Интегрируем \( \frac{\partial u}{\partial x} \) по \( x \):

\[ u(x, y) = \int (3x^2 - 3y^2 + 2) \, dx = x^3 - 3x y^2 + 2x + \phi(y), \]

где \( \phi(y) \) — произвольная функция от \( y \), появляющаяся как "интеграционная константа".

2. Интегрируем \( \frac{\partial u}{\partial y} = -6xy \) по \( y \):

\[ u(x, y) = \int -6xy \, dy = -3x y^2 + \psi(x), \]

где \( \psi(x) \) — произвольная функция от \( x \).

Теперь сравним оба результата. Общая структура функции \( u(x, y) \) получается следующей:

\[ u(x, y) = x^3 - 3x y^2 + 2x, \]

где \( \phi(y) \) и \( \psi(x) \) — константы, принимающие значения нуля, потому что они взаимно сократятся.

Шаг 5: Восстановление всей функции и использование условия

Теперь соберем всю функцию \( f(x, y) \):

\[ f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = (x^3 - 3x y^2 + 2x) + i(3x^2y - y^3 + 2y). \]

Нам известно, что \( f(1) = 3 \). Подставим \( x = 1 \) и \( y = 0 \), так как \( f \) задана как функция от \( x \) (значение на оси действительных чисел):

\[ f(1) = (1^3 - 3 \cdot 1 \cdot 0^2 + 2 \cdot 1) + i(3 \cdot 1^2 \cdot 0 - 0^3 + 2 \cdot 0) = 3. \]

Значит, дополнительных констант нет, и функция выглядит окончательно так:

\[ f(x, y) = (x^3 - 3x y^2 + 2x) + i(3x^2y - y^3 + 2y). \]

Это и есть искомая аналитическая функция.