Установите соответствие между видами сходимости и рядами

Это задание по математическому анализу, а конкретнее по теории рядов. Рассмотрим каждый ряд и определим его сходимость.

1) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n+1}\)

Этот ряд можно сравнить с геометрическим рядом \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n}\), который абсолютно сходится, так как \(\left| \frac{1}{7} \right| < 1\). Так как числитель \(1\) и знаменатель \(7^n + 1\), последовательность \(\frac{1}{7^n + 1}\) ведет себя подобно \(\frac{1}{7^n}\) при больших значениях \(n\), поэтому ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n+1}\) абсолютно сходится.

2) \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}\)

Это знакопеременный ряд. Используем признак Лейбница:

1. \(a_n = \frac{n}{n+1} > 0\)
2. \(a_{n+1} = \frac{n+1}{n+2} < a_n\) для всех \(n\)
3. \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0 \)

Следовательно, ряд \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}\) не сходится по признаку Лейбница и, следовательно, расходится.

3) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{3n + 5}}\)

Для проверки сходимости ряда можно применить интегральный признак: \[ \int \frac{1}{\sqrt{3x + 5}} \, dx = \frac{2}{3} \sqrt{3x + 5} + C \] Предел интеграла при \( x \to \infty \) уходит в бесконечность, следовательно, ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{3n + 5}}\) расходится.

4) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{6n + 5}\)

Этот ряд также является знакопеременным. Используем признак Лейбница:

1. \(a_n = \frac{1}{6n + 5} > 0\)
2. \(a_{n+1} = \frac{1}{6(n+1) + 5} < a_n\) для всех \(n\)
3. \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n + 5} = 0\)

Выполняются все условия признака Лейбница, следовательно, ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{6n + 5}\) сходится условно.

5) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n}\)

Этот ряд также является знакопеременным. Применим признак Лейбница:

1. \(a_n = \frac{1}{4^n} > 0\)
2. \(a_{n+1} = \frac{1}{4^{n+1}} < a_n\) для всех \(n\)
3. \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = 0\)

Все условия признака Лейбница выполняются, значит ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n}\) сходится условно.

Таким образом, соответствие будет: a) Абсолютно сходится - 1) б) Условно сходится - 4), 5) в) Расходится - 2), 3)