Установить соответствие между видами сходимости и рядами

Этот тип задания относится к курсу математического анализа или теории рядов.

Рассмотрим виды сходимости для предложенных рядов:

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7n^2+1}\)

   Для определения сходимости этого ряда можно использовать признак сравнения. Ряд \(\sum \frac{1}{7n^2}\) абсолютно сходится, так как он сходится \(\sum \frac{1}{n^2}\) (гипергеометрический ряд с параметром > 1). Следовательно, \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7n^2+1}\) также абсолютно сходится.

2. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1}\)

   Для определения сходимости этого ряда можно использовать признак Лейбница для знакопеременных рядов.

   • Величина \(\frac{n}{n+1}\) стремится к 1 при \(n \to \infty\).
   • Однако \((-1)^n\) чередуется по знаку, и общий член не стремится к нулю. Следовательно, ряд не расходится, но также не абсолютно сходится.
3. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3n+5}}\)

   Для определения сходимости этого ряда также можно использовать признак сравнения с рядом \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\), который расходится. Так как у нас знаменатель отличается на константу, это не изменяет расходящегося поведения общего члена. Следовательно, данный ряд расходится.

4. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{6n^2+5}\)

   Здесь мы снова можем использовать признак Лейбница для знакопеременных рядов.

   • \(a_n = \frac{1}{6n^2+5}\) стремится к нулю при \(n \to \infty\).
   • \((-1)^n\) чередуется по знаку. Следовательно, ряд условно сходится.
5. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^n}\)

   Для данного ряда можно сразу определить абсолютную сходимость, проверяя ряд на абсолютно сходимость: \(\sum \left| \frac{(-1)^n}{4^n} \right| = \sum \frac{1}{4^n}\) Это геометрическая прогрессия с множителем меньше 1, так что она абсолютно сходится.

Таким образом:

• а) Абсолютно сходится: 1, 5
• б) Условно сходится: 4
• в) Расходится: 2, 3