Установить сходимость или расходимость числовой ряда на основе радикального признака коши или интегрального признака кожи. Ряд верхний предел плюс бесконечность Нижний n=1 1/(n*(2ln(n)+5)^3)

Данное задание относится к предмету математический анализ, а именно к разделу изучения числовых рядов и их сходимости. Задача заключается в определении сходимости или расходимости числового ряда с элементом

a_n = \frac{1}{n \cdot (2\ln(n) + 5)^3}

Шаг 1: Применение интегрального признака Коши

Мы можем применить интегральный признак Коши, так как к этому ряду может быть сопоставлена функция, определенная для n \geq 1. По интегральному признаку, если интеграл функции, соответствующей членам ряда, является сходящимся, то и соответствующий ряд также сходится. Если интеграл расходится, то ряд также расходится.

Перепишем общий член ряда в виде функции:

f(n) = \frac{1}{n \cdot (2 \ln(n) + 5)^3}

Теперь необходимо исследовать поведение следующего несобственного интеграла:

\int_1^\infty \frac{1}{n \cdot (2 \ln(n) + 5)^3} \, dn

Шаг 2: Оценка интеграла

Для упрощения проводим подстановку:

u = \ln(n) \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{n} \, dn

Пределы интегрирования при этом преобразуются: при n = 1, u = \ln(1) = 0, а при n \to \infty, u \to \infty.

Интеграл теперь становится:

\int_0^\infty \frac{1}{(2u + 5)^3} \, du

Шаг 3: Исследование на сходимость

Теперь исследуем сходимость данного интеграла. Интеграл

\int_0^\infty \frac{1}{(2u + 5)^3} \, du

является стандартным несобственным интегралом типа

\int \frac{1}{(au + b)^p} \, du

который сходится, если p > 1. В нашем случае p = 3, что больше единицы.

Следовательно, данный интеграл сходится.

Шаг 4: Вывод

Так как интеграл сходится, то по интегральному признаку Коши исходный числовой ряд также сходится.

Ответ:

Ряд сходится.