Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Установить сходимость или расходимость числовой ряда на основе признаков сравнения. Ряд верхний предел плюс бесконечность Нижний предел n=1 ((3n^2+1)/(4n^3+7))^8
Нам дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7}\right)^8 \] Необходимо определить, сходится или расходится данный ряд, используя признаки сравнения.
Для использования признаков сравнения, прежде всего определим, как ведёт себя общий член ряда при \( n \to \infty \). Рассмотрим общее выражение для члена ряда: \[ a_n = \left(\frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7}\right)^8 \] Попытаемся упростить это выражение, рассмотрев асимптотическое поведение отношения внутри скобки, при больших значениях \( n \). Для больших \( n \), во всей дроби начинают доминировать старшие степени переменной \( n \), т.е. \( 3n^2 + 1 \approx 3n^2 \) и \( 4n^3 + 7 \approx 4n^3 \). Следовательно, при больших \( n \):
\[ \frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7} \approx \frac{3n^2}{4n^3} = \frac{3}{4n} \]
Теперь возьмем это приближение и возведём его в 8-ую степень: \[ a_n \approx \left(\frac{3}{4n}\right)^8 = \frac{3^8}{(4n)^8} = \frac{6561}{65536n^8}. \] То есть, асимптотически, при больших \( n \), общий член ряда ведет себя как \( a_n \sim \frac{C}{n^8} \), где \( C \) — некоторая константа.
Теперь применим критерий сравнения. Рассмотрим стандартный ряд вида \( \sum \frac{1}{n^p} \), который известен как **p-ряд**. Его сходимость или расходимость определяется следующим образом:
В нашем случае общий член ряда асимптотически ведет себя как \( \frac{1}{n^8} \), то есть это \( p \)-ряд с \( p = 8 \). Так как \( 8 > 1 \), этот тестовый ряд сходится.
Так как \( a_n \sim \frac{C}{n^8} \), где известный тестовый ряд \( \sum \frac{1}{n^8} \) сходится, то по признаку сравнения можно заключить, что и исходный ряд сходится.
Исходный числовой ряд сходится, так как его члены асимптотически ведут себя как \( \frac{1}{n^8} \), а \( p \)-ряд с \( p = 8 \) сходится.