Установить сходимость или расходимость числовой ряда на основе признаков сравнения

Поскольку задание связано с исследованием сходимости числового ряда, ваш запрос относится к курсу математического анализа или, точнее, к теме сходимости числовых рядов.

Мы должны использовать признаки сходимости для решения задачи.

Заданный ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7} \right)^8 \]

Шаг 1. Анализ ведущего поведения функции

Чтобы исследовать сходимость этого ряда, применим признак сравнения с основным членом ряда.

1. Для начала упростим выражение под знаком суммы: \[ a_n = \left( \frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7} \right)^8 \]
2. Изучим поведение дроби, стоящей под степенью, при \(n \rightarrow \infty\):

\[ \frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7} \]

Для больших \(n\), можно пренебречь более малыми членами в числителе и знаменателе, и у нас остается:

\[ \frac{3n^2}{4n^3} = \frac{3}{4n} \]

Теперь вернёмся к выражению для \(a_n\):

\[ a_n \approx \left( \frac{3}{4n} \right)^8 = \frac{3^8}{(4n)^8} = \frac{3^8}{4^8 n^8} = C \cdot \frac{1}{n^8}, \]

где \(C = \frac{3^8}{4^8}\) — некоторая константа.

Шаг 2. Применение признака сравнения

Мы фактически показали, что \(a_n \sim \frac{C}{n^8}\) при \(n \rightarrow \infty\). Теперь можем воспользоваться признаком сравнения для сходимости ряда. Сравниваем данный ряд с общим видом ряда:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \]

Гармонический ряд сходится, если \(p > 1\). В нашем случае:

\( p = 8 > 1 \)

Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^8}\) сходится.

Шаг 3. Заключение

Так как ряд \( \sum \frac{1}{n^8} \) сходится и мы показали, что наш ряд ведёт себя аналогично при больших \(n\), исходный ряд также сходится по признаку сравнения.

Ответ: Числовой ряд

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n^2 + 1}{4n^3 + 7} \right)^8 \] сходится.