Установить сходимость или расходимость числовой ряда на основе признака даламбера. Ряд верхний предл плюс бесконечность Нижний n=1 n^2*sin(pi/2^n)

Предмет: Высшая математика — математический анализ.

Раздел: Исследование сходимости числовых рядов.

Задание: Установить сходимость или расходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)\) с использованием критерия Д’Аламбера.

Рассмотрим решение по шагам:

1. Общий вид ряда

Дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) \] Наша задача — определить сходимость или расходимость этого ряда с помощью признака Д'Аламбера.

2. Признак Д'Аламбера:

Признак Д'Аламбера используется для исследования сходимости положительных числовых рядов, и его формулировка такова:

Для общего члена ряда \[a_n\] признак Д'Аламбера утверждает, что если существует предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}, \] то:

• если \(L < 1\), то ряд сходится;
• если \(L > 1\), то ряд расходится;
• если \(L = 1\), то признак не дает информации (неприменим).

3. Перейдём к нахождению общего члена ряда:

В нашем случае общий член ряда: \[ a_n = n^2 \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) \]

4. Найдем соотношение \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

Вычислим соотношение общего члена для \(n+1\)-го и \(n\)-го: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2 \sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{n^2 \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)} \]

Теперь упростим выражение: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)} \]

Упростим первое дробное выражение: \[ \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \] Для больших \(n\) это выражение стремится к 1 (так как \(\frac{1}{n} \to 0\)).

Рассмотрим второе дробное выражение: Теперь проанализируем дробь \( \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)} \). Это выражение можно упростить, если учитывать, что \(\sin(x) \sim x\) при \(x \to 0\). Заметим, что при больших \(n\), аргумент синуса становится очень малым, так как \(\frac{\pi}{2^n} \to 0\).

Таким образом, можно воспользоваться приближением: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) \sim \frac{\pi}{2^n} \quad \text{при больших } n \]

Тогда: \[ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)} \sim \frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^n}} = \frac{1}{2} \]

5. Нахождение предела:

Теперь можем записать следующее приближенное выражение для отношения членов ряда: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \]

При больших \(n\), первое выражение \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \to 1\), а второе даёт \( \frac{1}{2} \).

Таким образом: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \]

6. Заключение:

Так как: \[ L = \frac{1}{2} < 1, \] то, согласно признаку Д'Аламбера, данный ряд сходится.

Ответ: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)\) сходится, согласно признаку Д'Аламбера.