Установить расходились ряда на основе необходимого условия сходимости Ряд E верхний предел +бесконечность Нижний n=1 n*ln(n/(n+100))

Предмет: Математика Раздел: Математический анализ — ряды, проверка сходимости рядов

Постановка задачи:

Необходимо определить сходимость ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n \ln \left( \frac{n}{n+100} \right) \]

Этап 1: Применим необходимое условие сходимости

Для любого ряда \(\sum a_n\) необходимое условие сходимости заключается в том, что его общее слагаемое должно стремиться к нулю при \(n \to \infty\):

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]

Если это условие не выполняется, ряд расходится. В нашем случае, \(a_n = n \ln \left( \frac{n}{n+100} \right)\). Чтобы применить необходимое условие сходимости, найдем предел при \(n \to \infty\) для выражения \( a_n \).

Этап 2: Упростим выражение для \(a_n\)

Рассмотрим аргумент логарифма: \[ \frac{n}{n+100} = 1 - \frac{100}{n+100} \]

Когда \(n\) стремится к бесконечности, дробь \(\frac{100}{n+100}\) стремится к нулю, поэтому приближается к 1: \[ \frac{n}{n+100} = 1 - \frac{100}{n+100} \]

Теперь возьмем логарифм от этого выражения. Учтем, что для малых \(x\), \(\ln(1 - x) \approx -x\). В нашем случае: \[ \ln \left( \frac{n}{n+100} \right) = \ln \left( 1 - \frac{100}{n+100} \right) \approx -\frac{100}{n+100} \approx -\frac{100}{n} \]

Этап 3: Найдем предел \(n \ln \left( \frac{n}{n+100} \right)\)

Теперь вернемся к выражению для \(a_n\): \[ a_n = n \ln \left( \frac{n}{n+100} \right) \approx n \left( -\frac{100}{n} \right) = -100 \]

Этап 4: Применим необходимое условие

Мы видим, что: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} -100 = -100 \neq 0 \]

Следовательно, ряд не удовлетворяет необходимому условию сходимости, а значит расходится.

Ответ:

\[ \text{Ряд расходится.} \]