Указать применяемые признаки. До-1) для необходимого признака - пі а;2) для 1-го и 2-го признаков сравнения - общий член ряда, с которымcpacrusaemes Oannai pao;3) для признака Даламбера - lim An+14) для признака Коши — lim /lanl.

Предмет: Математика, раздел: Ряды

Для анализа сходимости данного ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \] рассмотрим применяемые признаки:

1. Необходимый признак (первый признак)

   Это признак утверждает, что если \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \), то ряд расходится. Рассмотрим \( a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \).

   \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} = 0 \]

   Так как предел равен нулю, необходимый признак не даёт информации о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).

2. Признак Даламбера (второй признак)

   Признак Даламбера утверждает, что если \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, \] то ряд сходится. Рассмотрим отношение:

   \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(-1)^n}{e^{n+2}}}{\frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}}} \right| = \left| \frac{(-1)^n \cdot e^{n+1}}{(-1)^{n-1} \cdot e^{n+2}} \right| = \left| \frac{e^{n+1}}{-e^{n+2}} \right| = \left| \frac{1}{e} \right| = \frac{1}{e} \]

   Так как \( \frac{1}{e} < 1 \), ряд сходится по признаку Даламбера.

3. Признак Коши (третий признак)

   Признак Коши утверждает, что если \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, \] то ряд сходится. Рассмотрим:

   \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left| \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \right|} = \sqrt[n]{\frac{1}{e^{n+1}}} = \frac{1}{e^{1 + \frac{1}{n}}} \]

   Рассмотрим предел:

   \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e} \]

   Поскольку \( \frac{1}{e} < 1 \), ряд сходится по признаку Коши.

4. Признаки сравнения (четвёртый признак)

   Используем признак Лейбница для знакопеременных рядов, который гласит: если последовательность \( b_n = \frac{1}{e^{n+1}} \) монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится. У нас есть \(\left| \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}}\right|\). \(\frac1{ e^{n+1}}\) монотонно убывает и стремится к нулю.

   Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{e^{n+1}} \) сходится.