Сумма ряда.

Пример 1:

Найти сумму ряда

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить сумму ряда с точностью до Δ:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид - знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница) и погрешность при отбрасывании остатка ряда не превышает по абсолютной величине первый отбрасываемый член.

Вычисляем члены ряда:

Вычисления прекращаем, получаем сумму ряда с заданной точностью:

Пример 3:

Вычислить при любом натуральном n:

Решение от преподавателя:

Выразим сумму n-ого и (n+2)-го члена суммы:

Таким образом, имеем тождества:

Просуммируем все левыые и правые части:

Таким образом, мы имеем формулу для нахождения суммы ряда для любого n.

Пример 4:

Найдите сумму ряда:

Решение от преподавателя:

Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ∑a_nxⁿ
где a_n - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R - радиус сходимости. Вычислим его:

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-1;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:

Это знакочередующийся числовой ряд который сходится согласно признаку Лейбница.

При x = -1
получаем ряд:

Это знакочередующийся числовой ряд, который сходится согласно признаку Лейбница.

То есть функциональный рядсходится при x∈[−1;1]

Чтобы вычислить сумму ряда, преобразуйте его следующим образом:

Во-первых, докажем, что данный ряд сходится. В самом деле, ряд
является знакочередующимся рядом, члены которого по модулю не возрастают и .

По теореме Лейбница данный ряд сходится к некоторому числу S

Пример 5:

Найти сумму ряда

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Доказать, что при любом n > 1, сумма ряда больше 0,5 и меньше 0,75.

Решение от преподавателя:

Проверим для S_n

_{Таким образом, по методу математической индукции исходрное утверждение доказано.}

Пример 7:

Вычислить при любом натуральном n:

Решение от преподавателя:

Выразим сумму n-ого и (n+2)-го члена суммы:

Таким образом, имеем тождества:

Просуммируем все левыые и правые части:

Таким образом, мы имеем формулу для нахождения суммы ряда для любого n.

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда суммой первых 100 слагаемых.

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти сумму ряда:

Решение от преподавателя:

Предположим, что

Приведем правую сторону к общему знаменателю:

Приравниваем получившееся значение к первоночальному, получаем:

Знаменатели дробей равны, следовательно равны и числители:

Получаем систему уравнений:

Зная численные значения А и В, имеем:

Тогда сумма ряда равна:

Получаем верную формулу, следовательно:

Пример 11:

Сколько нужно взять слагаемых ряда , чтобы получить его сумму с точностью до 0,01?

Решение от преподавателя:

Погрешность суммы ряда не превышает по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому находим искомое число членов ряда:

Поэтому начиная с k = 10-го члена ряда соответствующие члены ряда можно отбросить. Следовательно, необходимо взять m = 9 членов ряда, чтобы получить его сумму с точностью до 0,01.