Сколько нужно взять членов ряда, чтобы вычислить 1/(e^(1/5)) с точностью до 10^(-3)

Определим предмет и раздел предмета для данного задания

Это задание относится к математике, а более конкретно, к разделу математического анализа, связанному с исследованиями рядов и приближений. Нашей целью является вычисление \( \frac{1}{e^{1/5}} \) с точностью до \( 10^{-3} \). Для этого нам понадобится разложение экспоненты в ряд Тейлора. Экспоненциальная функция \( e^x \) в точке \( x = 0 \) раскладывается так: \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \] Из этой формулы можно найти \( e^{1/5} \): \[ e^{1/5} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{(1/5)^2}{2!} + \frac{(1/5)^3}{3!} + \frac{(1/5)^4}{4!} + \cdots \]

Воспользуемся первыми членами ряда для приближенного вычисления \( e^{1/5} \), пока не достигнем точности \( 10^{-3} \).

1. \( e^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0.2 = 1.2 \)
2. \( e^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5} + \frac{(1/5)^2}{2!} = 1.2 + \frac{0.04}{2} = 1.2 + 0.02 = 1.22 \)
3. \( e^{1/5} \approx 1 + \frac{1}{5} + \frac{(1/5)^2}{2!} + \frac{(1/5)^3}{3!} = 1.22 + \frac{(0.04/5)}{6} \approx 1.22 + 0.001333 \approx 1.221333 \)

Проверим значение \( e^{1/5} \) при этом разложении: \[ \left( 1,22\right) \]

Сохраним текущую точность и будем использовать это разложение для определения \( \frac{1}{e^{1/5}} \): \[ \frac{1}{e^{1/5}} \approx \frac{1}{1 + \frac{1}{5} + \frac{(1/5)^2}{2!} + \cdots} \]

Оценим в обратном ряде \( \frac{1}{1.22} \approx 0,8196721 \). Теперь проверим, обеспечивает ли это разложение требуемую точность: \[ \frac{1}{e^{1/5}} \approx \frac{1}{1.22133} \approx 0.818 \]

Мы видим, что приближение, воспользовавшись тремя членами ряда Тейлора, дает значение достаточно точное \(10^{-3}\). Таким образом, для вычисления \( \frac{1}{e^{1/5}} \) с точностью до \( 10^{-3} \) потребуется взять три члена ряда.