Сходится ли ряд n^2 * sin 5/n^2

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, Ряды

Дана последовательность членов ряда:

 a_n = n^2 \sin\frac{5}{n^2} 

Нужно определить, сходится ли ряд:

 \sum_{n=1}^\infty n^2 \sin\frac{5}{n^2} 

Шаг 1. Анализ поведения членов ряда при больших n

Для больших значений n аргумент синуса становится очень маленьким:

 \frac{5}{n^2} \to 0, \quad n \to \infty 

Можно использовать разложение синуса в ряд Тейлора около нуля:

 \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots 

Подставим x = \frac{5}{n^2}:

 \sin\frac{5}{n^2} = \frac{5}{n^2} - \frac{1}{6}\left(\frac{5}{n^2}\right)^3 + \cdots = \frac{5}{n^2} - \frac{125}{6 n^6} + \cdots 

Шаг 2. Подставим это в выражение для a_n:

 a_n = n^2 \sin\frac{5}{n^2} = n^2 \left(\frac{5}{n^2} - \frac{125}{6 n^6} + \cdots \right) = 5 - \frac{125}{6 n^4} + \cdots 

При n \to \infty:

 a_n \to 5 

Шаг 3. Критерий сходимости ряда

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы общий член стремился к нулю:

 \lim_{n \to \infty} a_n = 0 

В нашем случае предел равен 5, а значит:

 \lim_{n \to \infty} a_n = 5 \neq 0 

Вывод:

Ряд  \sum_{n=1}^\infty n^2 \sin\frac{5}{n^2}  расходится, так как общий член не стремится к нулю.

Если нужно, могу помочь с дополнительными вопросами по рядам!