Сходимость степенных рядов

Данное задание относится к математике, разделу математический анализ, а именно к теме сходимость степенных рядов.

На изображении изображен степенной ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] Наша задача — определить интервал сходимости этого ряда и исследовать его на концах.

Шаг 1: Применение теоремы Коши-Адамара (радиус сходимости)

Для определения радиуса сходимости степенного ряда можно использовать критерий Коши-Адамара. Формула для радиуса сходимости \( R \) представлена как: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \] Где \( a_n \) — коэффициенты ряда.

Запишем наш ряд в виде: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] Тогда \( a_n = \frac{1}{n!} \). Найдем предельный переход от \( a_n \): \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = 0 \] Так как факториал \( n! \) растёт очень быстро, выражение \( \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} \) стремится к нулю.

Таким образом, радиус сходимости \( R = \infty \). Следовательно, степенной ряд сходится для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Шаг 2: Исследование на концах интервала

Поскольку радиус сходимости бесконечен, этот ряд сходится для всех значений \( x \). Это означает, что каких-то специфичных "концов интервала" в данном случае нет. Мы можем утверждать, что этот ряд абсолютно сходится при любом значении \( x \in \mathbb{R} \).

Итог: Интервал сходимости степенного ряда — \( (-\infty; +\infty) \).