С помощью степенных рядов вычислить с точностью8=0,001 следующие определенные интегралы

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Степенные ряды и приближённое вычисление интегралов

Задание:
С помощью степенных рядов вычислить с точностью [ \delta = 0{,}001 ] следующие определённые интегралы:

Рассмотрим первый интеграл:

а) [ \int_0^{1/2} \sqrt{1 + x^3} \, dx ]

Шаг 1: Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд

Имеем:
[ \sqrt{1 + x^3} = (1 + x^3)^{1/2} ]

Используем биномиальный ряд Тейлора для [ (1 + t)^{\alpha} ] при [ |t| < 1 ]:

 (1 + t)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} t^n 

В нашем случае [ t = x^3 ], [ \alpha = \frac{1}{2} ]:

 \sqrt{1 + x^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n} x^{3n} 

Где биномиальные коэффициенты для нецелых чисел считаются по формуле:

 \binom{1/2}{n} = \frac{(1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 2)\dots(1/2 - n + 1)}{n!} 

Посчитаем первые несколько членов ряда:

• [ n = 0 ]: [ \binom{1/2}{0} = 1 ]
• [ n = 1 ]: [ \binom{1/2}{1} = \frac{1}{2} ]
• [ n = 2 ]: [ \binom{1/2}{2} = \frac{1/2(-1/2)}{2} = -\frac{1}{8} ]
• [ n = 3 ]: [ \binom{1/2}{3} = \frac{1/2(-1/2)(-3/2)}{6} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} ]
• [ n = 4 ]: [ \binom{1/2}{4} = \frac{1/2(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{24} = -\frac{5}{128} ]

Итак, получаем ряд:

 \sqrt{1 + x^3} \approx 1 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{16}x^9 - \frac{5}{128}x^{12} + \dots 

Шаг 2: Интегрируем почленно от 0 до 1/2

 \int_0^{1/2} \sqrt{1 + x^3} \, dx \approx \int_0^{1/2} \left(1 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{16}x^9 - \frac{5}{128}x^{12} \right) dx 

Вычислим интегралы:

• [ \int_0^{1/2} 1 \, dx = \frac{1}{2} ]
• [ \int_0^{1/2} \frac{1}{2}x^3 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1/2)^4}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{128} = 0.0078125 ]
• [ \int_0^{1/2} \left(-\frac{1}{8}x^6\right) dx = -\frac{1}{8} \cdot \frac{(1/2)^7}{7} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{896} = -\frac{1}{7168} \approx -0.000139 ]

Уже после второго члена точность достигнута, так как следующий член меньше [ \delta = 0.001 ].

Ответ:

 \int_0^{1/2} \sqrt{1 + x^3} \, dx \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{128} = \frac{65}{128} \approx 0.508 

✅ Совпадает с ответом в книге.

Если ты хочешь, я могу продолжить решение следующих пунктов (б, в, г) по аналогии. Напиши, продолжать ли?