С помощью признаков коши или даламбера докажите сходимость или расходимость ряда верхний предел плюс бесконечность

Задание:

Докажите сходимость или расходимость ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n+4}{2n-1}\right)^n \]

Предмет:

Математика

Раздел:

Математический анализ — Исследование сходимости рядов.

Разбор задачи и метод решения

Для определения сходимости или расходимости числового ряда можно использовать признак Даламбера или признак Коши. Рассмотрим применение признака Даламбера к данному ряду.

Признак Даламбера

Признак Даламбера предполагает, что если существует конечный предел отношения последовательных членов ряда:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \]

то:

1. Если \( L < 1 \), то ряд сходится.
2. Если \( L > 1 \), то ряд расходится.
3. Если \( L = 1 \), то признак Даламбера не даёт ответа.

Для ряда \( \sum \left(\frac{3n+4}{2n-1}\right)^n \), каждый член ряда можно записать как:

\[ a_n = \left(\frac{3n+4}{2n-1}\right)^n. \]

Нам нужно проверить отношение:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac{3(n+1)+4}{2(n+1)-1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{3n+4}{2n-1}\right)^n}. \]

Вычислим сначала значения выражений для \( a_{n+1} \) и \( a_n \):

\[ a_{n+1} = \left( \frac{3(n+1)+4}{2(n+1)-1} \right)^{n+1} = \left( \frac{3n+7}{2n+1} \right)^{n+1}. \]

Теперь рассмотрим отношение:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac{3n+7}{2n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{3n+4}{2n-1}\right)^n}. \]

Это можно записать как:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{3n+7}{2n+1} \right)^{n+1} \times \left( \frac{2n-1}{3n+4} \right)^n. \]

Упрощение выражения при \( n \to \infty \):

Для больших значений \( n \), разумно разложить дроби в виде асимптотических приближений:

\[ \frac{3n+7}{2n+1} \sim \frac{3}{2}, \quad \frac{3n+4}{2n-1} \sim \frac{3}{2}. \]

Тогда отношение можно упростить:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} \times \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} \right)^n = \frac{3}{2}. \]

Вывод:

Так как \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{2} > 1\), это означает, что по признаку Даламбера данный ряд расходится.

Ответ:

Ряд расходится.